4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами

Ми вже розглянули ряд операцій над нечіткими множинами. Ці операції були подібні операціям із звичайними множинами, але як нова структура, нечіткі множини мають і нові властивості й відповідно на них можуть бути введені нові операції, які не мають сенсу для звичайних множин.

Визначимо спочатку декартовий добуток нечітких множин.

О з н а ч е н н я  4.14. Декартовим добутком нечітких множин A_i в X_i , i = 1, … , n буде нечітка множина A у декартовому добутку з функцією належності, яка має вигляд

. (4.52)

П р и к л а д  4.30. Визначимо декартовий добуток нечітких множин A та B, де , .

Відповідно означенню 4.14. маємо:

О з н а ч е н н я  4.15. Опуклою комбінацією нечітких множин , … , A_n в X називається нечітка множина A з функцією належності, що має вигляд

, (4.53)

де .

Для звичайних множин, на відміну від декартового добутку, операція опуклої комбінації не має сенсу.

О з н а ч е н н я  4.16. Операції концентрування (CON) та розтягування (DIL) визначимо таким чином:

CON A = A² , (4.54)

DIL A = A^0,5 , (4.55)

де

. (4.56)

П р и к л а д  4.31. Нехай E = {x₁, … , x_n}  універсальна множина, A  E,

.

Визначимо множини B = CON A, C = DIL A.

,

.

П р и к л а д  4.31. Нехай нечітка множина A із R¹ подана своєю функцією належності , тоді .

Графічно ці множини можна зобразити таким чином:

Рис. 4.13. Нечіткі множини А та CON A.

Застосування операції концентрування до поданої нечіткої множини означає зменшення “нечіткості” цієї множини. У реальних задачах це може означати надходження нової інформації, що дозволяє більш точно (чітко) описати подану нечітку множину. Аналогічним чином, операція розтягування може застосовуватися для моделювання ситуацій, які пов’язані з втратою інформації.

4.8. Нечіткі відношення

О з н а ч е н н я  4.17. Нечітким відношенням R на множині Х називається нечітка підмножина декартового добутку , що характеризується функцією належності .

Значення цієї функції ми розуміємо як міру або ступінь, з якою виконується відношення R між елементами x та y. Звичайні відношення ми можемо розглядати, як окремий випадок нечітких відношень, функції належності яких приймають значення 0 або 1.

П р и к л а д  4.32. Розглянемо два подібні відношення на інтервалі [0,1]. Звичайне відношення R () та нечітке відношення «значно більше» . Пари, що пов’язані відношенням R зображено на рис. 4.14, відношенням – на рис. 4.15.

Рис. 4.14. Графічне зображення Рис. 4.15. Графічне зображення

відношення «». відношення “”

У випадку нечіткого відношення R існують пари, для яких це відношення чітко виконується, існують пари, для яких це відношення не виконується, і деяка проміжна область, парам з якої призначається та чи інша ступінь належності залежно від ситуації. Нечітку межу у цьому випадку зображено змінною щільності штриховки.

Так як і у випадках звичайних відношень (див. розділ 2), нечіткі відношення ми можемо задавати матрицею, графом або розрізами.

Матриця нечіткого відношення аналогічна матриці звичайного відношення, тільки її елементами можуть бути числа від 0 до 1. У графі нечіткого відношення кожній дузі призначається число з інтервалу [0,1].

Верхні та нижні розрізи нечіткого відношення ми можемо визначити як нечіткі множини, такі що:

,

.

О з н а ч е н н я  4.18. Носієм нечіткого відношення R на множині Х називається підмножина декартового добутку , що має вигляд

.

Носій нечіткого відношення ми можемо розуміти, як звичайне відношення на множині Х, що пов’язує такі пари , для яких відношення R виконується з додатною мірою.

П р и к л а д  4.33. Відношення R – «приблизно дорівнює». Задамо це відношення матрицею на множині . Відповідна матриця може мати такий вигляд:

.

Носієм описаного нечіткого відношення буде таке звичайне відношення:

.

Зауважимо, що конкретний вигляд матриці відношення залежить від сенсу задачі і того, що розуміється під виразом «приблизно дорівнює».