Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення

Мета розділу: ознайомлення з поняттями нечіткої множини і нечіткого відношення, їх властивостями і використанням у теорії прийняття рішень.

4.1. Поняття належності

Нехай E – деяка множина, A – підмножина на E, тобто , x – деякий елемент E і . Для опису цієї належності можна використовувати характеристичну функцію , значення якої показують належить елемент x множині A чи ні, а саме

(4.1)

П р и к л а д  4.1. і нехай . Випишемо для кожного елемента множини E його степінь належності множині A:

Таким чином, ми можемо подати всі елементи множини A через елементи множини E, супроводжуючи кожен з них значенням його степені належності.

П р и к л а д   4.2. Нехай множина Тоді

і множину A ми можемо записати у вигляді

Нехай – доповнення множини A відносно E, тобто така підмножина E, що і

Якщо , то , і ми можемо записати що для маємо .

Тоді для прикладу 4.1 одержуємо , , , , , й .

Для прикладу 4.2:

і .

Тепер розглянемо операції об'єднання та перерізу множин у термінах характеристичних функцій .

Нехай ми маємо дві множини A та B з характеристичними функціями

та

відповідно.

Характеристичною функцією їх перерізу буде функція , така що

це можна записати формулою

,

або

.

Аналогічно маємо для об’єднання множин :

тобто де – булеве додавання,

або

П р и к л а д  4.3. Розглянемо множину E={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅} та дві її підмножини:

та .

Знайдемо їх об’єднання і переріз:

а також доповнення отриманих підмножин:

4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія

У всіх прикладах попереднього параграфу елементи множини E належать або не належать підмножині A. Характеристична функція підмножини A приймає значення 0 або 1. Припустимо, що характеристична функція може приймати будь-які значення із інтервалу [0,1]. Відповідно з цим елемент x множини E може не належати множині A , може бути елементом A в невеликому ступені ( близьке до 0), може належати A більше чи менше ( не дуже близьке до 0 та не дуже близьке до 1 ), може бути елементом A в значній мірі ( близьке до 1 ) або, нарешті, може бути елементом A (). Таким чином, ми отримуємо узагальнення поняття належності, яке дозволяє нам ввести поняття нечіткої множини.

О з н а ч е н н я  4.1. Нехай E – деяка множина (в звичайному уявленні). Нечіткою підмножиною A в E назвемо сукупність пар виду (), де , функція , називається функцією належності нечіткої підмножини A.

Значення цієї функції для конкретного елемента x називається степенем належності цього елемента до нечіткої підмножини A.

Позначаємо нечітку підмножину А, або , або , якщо ясно, що мова йде про нечіткі підмножини, то пишемо .

Належність елемента до нечіткої підмножини позначається:

, , ,

де позначає , еквівалентно .

П р и к л а д  4.4. Нехай , нечітка підмножина універсальної множини E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }.

Нечітка підмножина А вміщує x₁, x₃ у незначній мірі, x₂ не вміщує, повністю вміщує x₄ і в значній мірі x₅.

Таким чином, ми можемо створити математичну структуру, деякий об’єкт, що дозволяє оперувати з відносно неповно визначеними елементами, належність яких до даної підмножини лише в деякій мірі ієрархічно впорядкована.

Прикладами таких структур є :

 множина дуже високих людей у деякій множині людей;

 підмножина темно-зелених кольорів у множині всіх кольорів;

 підмножина чисел , наближено рівних даному дійсному числу;

 підмножина цілих чисел дуже близьких до 0;

 нехай a  матеріальне число, x  невелике додатне число, тоді числа a+x утворюють нечітку підмножину в множині матеріальних чисел.

Зауважимо, що потрібно розрізняти ймовірність і нечіткість. Коли мова йде про імовірність, то мається на увазі належність або не належність елемента до чіткої, цілком визначеної множини, залежно від випадкових умов. Наприклад, з ймовірністю p певний студент складе сесію на відмінно, тобто буде належати до множини відмінників. Множина відмінників – це цілком визначена, чітка множина. Нечіткість же припускає, що сама множина не сповна визначена, тобто її межі неможна визначити певно. Наприклад «множина людей, які гарно співають» невизначеним тут є саме поняття «гарно співають». У приведених прикладах нечітких множин курсивом виділені елементи, що обумовлюють їхню нечіткість. Насправді, одна та й сама людина може вважатися «дуже високою» і в той же час ні, оскільки неможна чітко визначити границю цієї множини. «Приблизно дорівнює» у кожній ситуації може розумітися по-різному.

Людина легко використовує поняття, які не можна чітко описати, і апарат нечітких множин призначений саме для того, щоб математично описати якісні поняття, формалізувати операції з такими поняттями.

Як випливає з означення 4.1, нечітка підмножина цілком описується своєю функцією належності, тому нижче ми будемо часом використовувати функцію належності для позначення нечіткої множини.

Звичайні множини складають підклас класу нечітких множин. Це ті множини, функції належності яких приймають значення тільки 0 або 1.

П р и к л а д  4.5. Розглянемо звичайну підмножину чисел та нечітку підмножину чисел .

Функції належності цих множин зображені на рис. 4.1. Зауважимо, що вигляд функції належності нечіткої підмножини C залежить від сенсу, який в даній конкретній ситуації, вміщує поняття «близький».

Нечітка підмножина називається пустою, якщо її функція належності дорівнює нулю на всій множині E, тобто

(4.1)

Рис. 4.1 Функції належності: а) звичайної множини В, б) нечіткої підмножини С

Універсальну множину E можна описати функцією належності виду:

. (4.2)

О з н а ч е н н я  4.2. Носієм нечіткої підмножини A (позначається supp A) з функцією належності називається множина (у звичайному сенсі), що має вигляд

. (4.3)

П р и к л а д  4.6. Нехай універсальна множина E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, її підмножина .

Тоді supp A = {x₁, x₂, x₃, x₅}.

О з н а ч е н н я  4.3. Нечітка підмножина A називається нормальною, якщо виконується рівність . В іншому разі нечітка підмножина називається субнормальною.

Наприклад, нечітка підмножина C з прикладу 4.2 – нормальна. Субнормальним часто буває переріз нечітких підмножин. Субнормальну нечітку множину А можна перетворити до нормальної (нормалізувати). Для цього потрібно поділити функцію належності цієї множини на величину . Однак слід пам'ятати, що застосовуючи таке перетворення в будь-якій задачі, необхідно чітко уявляти собі його «фізичний сенс».

О з н а ч е н н я  4.4. Нехай A та B нечіткі підмножини в E, а та їх функції належності відповідно. Будемо говорити, що A містить у собі B (тобто ), якщо для будь-якого вірна нерівність:

. (4.4)

О з н а ч е н н я  4.5. Множини A та B співпадають (еквівалентні), якщо

Якщо нечіткі множини A та B такі, що , то .

П р и к л а д  4.7. Нехай задана універсальна множина E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}. Розглянемо дві її підмножини:

,

та .

Оскільки , нечітка підмножина A  нормальна, для множини B , тому множина В  субнормальна. Крім того , оскільки .

П р и к л а д  4.8. Розглянемо нечіткі підмножини A = {x “величина x близька до 1”}, B = {x “величина x дуже близька до 1”}.

Ясно, що , тоді функції належності цих підмножин повинні задовольняти нерівності . Графічно ці функції можуть мати вигляд, наприклад, який зображено на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Функції належності множин А та В, де