- •Методи прийняття рішень
- •Розділ 1. Задачі прийняття рішень. Класифікація задач прийняття рішень.
- •1.1. Приклади задач прийняття рішень та їх класифікація.
- •1.2. Невизначеність в задачах прийняття рішень
- •1.3. Теоретико-ігровий підхід до прийняття рішень
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 1
- •Розділ 2. Задачі вибору
- •2.1. Поняття бінарного відношення
- •2.2. Способи задавання відношень
- •2.3. Операції над відношеннями
- •2.4. Властивості відношень
- •2.5. Відношення еквівалентності, порядку, домінування та переваги
- •2.6. Поняття r-оптимальності, найкращого, найгіршого, максимального та мінімального елементів
- •2.7. Поняття функції вибору. Класи функцій вибору
- •2.8. Функції корисності
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 2
- •Розділ 3 багатокритеріальні задачі оптимізації
- •3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації
- •3.2. Поняття ефективної альтернативи
- •3.3. Теоретичне і практичне значення ефективного рішення.
- •3.4. Властивості ефективних альтернатив і способи їх знаходження.
- •3.5. Загальна проблема пошуку компромісних рішень
- •3.5.1. Принципи рівномірності
- •3.5.2. Принципи справедливої поступки
- •3.5.3. Інші принципи оптимальності
- •3.6. Методи нормалізації критеріїв
- •3.7. Способи урахування пріоритету критеріїв
- •3.7.1. Методи урахування жорсткого пріоритету
- •3.7.2. Методи урахування гнучкого пріоритету
- •3.8. Методи розв’язання багатокритеріальних задач оптимізації
- •3.8.1. Методи зведення до узагальненого критерію (методи згортки)
- •3.8.2. Метод головного критерію
- •3.8.3. Метод послідовних поступок
- •3.9. Поняття рішення задачі багатокритеріальної оптимізації при заданій перевазі
- •3.10. Метод обмежень при пошуку компромісних рішень в задачах векторної оптимізації.
- •3.11. Метод обмежень в багатокритеріальній задачі лінійного програмування
- •Висновки
- •Контрольні запитання
- •Завдання до розділу 3
- •Розділ 4 нечіткі множини та нечіткі відношення
- •4.1. Поняття належності
- •4.2. Визначення нечіткої множини та термінологія
- •4.3. Операції над нечіткими множинами
- •4.4. Відстань між нечіткими підмножинами
- •4.5. Звичайна підмножина, найближча до нечіткої. Індекс нечіткості
- •4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
- •4.7. Спеціальні операції над нечіткими множинами
- •4.8. Нечіткі відношення
- •4.9. Операції над нечіткими відношеннями
- •4.10. Властивості нечітких відношень
- •4.11. Класифікація нечітких відношень
- •4.12. Відображення нечітких множин. Принцип узагальнення
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 4
- •5.2. Задачі нечіткого математичного програмування та їх класифікація
- •5.3. Задачі математичного програмування при нечітких обмеженнях
- •5.3.1. Розв’язок 1, який базується на множинах рівня нечіткої множини обмежень
- •5.3.2. Розв’язок 2 і еквівалентність розв’язків обох типів.
- •5.4. Прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині альтернатив
- •5.4.1.Нечіткі відношення переваги. Їх властивості.
- •5.4.2. Нечітка підмножина недомінуємих альтернатив
- •5.4.3. Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості
- •5.5. Декілька відношень переваги на множині альтернатив
- •5.6. Відношення переваги на нечіткій множині альтернатив
- •5.7. Прийняття рішень при заданій перевазі на множині ознак
- •Висновки
- •Контрольні питання
- •Завдання до розділу 5
- •Предметний покажчик
- •Список літератури
Завдання до розділу 4
-
Дано нечіткі множини:
А= |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
; |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
1 |
1 |
0,9 |
В= |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
; |
0 |
0,3 |
0,4 |
0,8 |
0,7 |
0,7 |
0,9 |
С:
D:
Визначити чи є вони нормальними? субнормальними? Записати їхні носії.
-
Визначити переріз та об’єднання множин а) A та B , б) C та D із завдання 1 (за трьома означеннями).
-
Визначити доповнення множин A, C.
-
Для множин B та D виконати операції концентрування та розтягування.
-
Розкласти нечіткі множини А та B (завдання 1) на множини рівня.
-
Знайти найближчі звичайні множини для множин A, B, C, D із завдання 1.
-
Знайти відстань Хеммінга та Евклідову відстань між множинами а) A та B , б) C та D.
-
Знайти лінійний і квадратичний індекси нечіткості для множин B та D.
-
Обчислити лінійний індекс нечіткості множини з функцією належності
, де.
-
Навести приклад симетричного і рефлексивного нечіткого відношення.
-
Навести приклад транзитивного і рефлексивного нечіткого відношення.
-
Задати за допомогою матриці нечіткі відношення а) „приблизно дорівнює”, б) «значно більше» на множині чисел від 1 до 6.
-
Знайти max min, min max, max‑ композиції нечітких відношень
та .
-
Яки властивості має нечітке відношення:
а) , б) ,
в) , г) .
-
Нехай задані множини, . Відображення подано таблицею:
|
y1 |
y2 |
y3 |
x1 |
1 |
0 |
0 |
x2 |
0 |
1 |
0 |
x3 |
1 |
0 |
0 |
x4 |
0 |
1 |
0 |
x5 |
1 |
0 |
0 |
x6 |
0 |
0 |
1 |
x7 |
0 |
0 |
1 |
Визначити множину φ(А) при відображенні φ, якщо множину А задано у вигляді:
А= |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
. |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
1 |
1 |
0,9 |
-
Нехай множина , . Нечітке відображення подано таблицею:
|
y1 |
y2 |
y3 |
x1 |
0,7 |
0,5 |
0 |
x2 |
0 |
1 |
0,9 |
x3 |
0,8 |
0,6 |
0,5 |
x4 |
0,7 |
0,3 |
0,9 |
x5 |
1 |
0,7 |
0,6 |
x6 |
0 |
0 |
1 |
x7 |
0,2 |
0,7 |
1 |
Визначити множину φ(А) при відображенні φ, якщо множину А задано у вигляді:
А= |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
. |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
0,8 |
1 |
1 |
0,9 |
РОЗДІЛ 5.
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ ПРИ НЕЧІТКИХ ВИХІДНИХ ДАНИХ
Мета розділу: вивчення методів прийняття рішень при нечітких вихідних даних та їх застосуванням до розв’язування прикладних задач.
5.1. Задача досягнення нечітко визначеної цілі.
(підхід Белмана-Заде)
Нехай Х – універсальна множина альтернатив, тобто універсальна сукупність вибору ОПР. Нечіткою ціллю в Х будемо називати деяку нечітку підмножину множини Х. Позначимо її G. Описується нечітка ціль функцією належності . Чим більше степінь належності альтернативи х до нечіткої множини цілі , тобто чим більше значення , тим більше степінь досягнення цієї цілі, якщо вибрати альтернативу х за розв’язок. Нечіткі обмеження, або множина допустимих альтернатив, також описуються нечіткими підмножинами множини Х. Позначимо їх C1, C2, … , Cm. Будемо вважати, що нам відомо функції належності цих нечітких множин.
Розв’язати задачу означає досягнути цілі й задовольнити обмеженням, причому у даній нечіткій постановці слід говорити не просто про досягнення цілі, а про її досягнення з тим чи іншим степенем. Необхідно також враховувати й степінь виконання обмежень.
Основним в підході Белмана-Заде до розв’язання цієї задачі, є те, що цілі прийняття рішень i множина альтернатив розглядаються як рівноважні нечіткі підмножини деякої універсальної множини альтернатив. Це дозволяє визначити рішення задачі у відносно простому вигляді. А саме, у підході Белмана-Заде вимоги задачі враховуються таким чином.
Нехай, наприклад, деяка альтернатива х забезпечує досягнення цілі (інакше – відповідає цілі) зі ступенем і задовольняє обмеженням (або є допустимою) зі степенем . Тоді нечітким розв’язком D задачі досягнення нечіткої цілі називається переріз нечітких множин цілі та обмежень, тобто . Це означає, що розв’язок задачі нечітко визначеної цілі ми також отримуємо у вигляді деякої нечіткої підмножини універсальної множини альтернатив Х. Якщо переріз множин визначати за означенням 4.7, то функція належності розв’язку буде мати вигляд:
.
У випадку коли ми маємо декілька цілей та декілька обмежень, нечіткий розв’язок описується функцією належності:
.
П р и к л а д 5.1. Нехай задана універсальна множина альтернатив . На цій множині подані такі множини цілі та обмежень:
G – “х повинен бути близьким до 5” ,
– “х не повинен бути близьким до 4”,
– “х повинен бути близьким до 6”.
Функції належності цілі та обмежень подані у таблиці:
Тоді функція належності нечіткого розв’язку задачі, згідно підходу Белмана-Заде, така:
.
Вочевидь, при такому зображенні рішення залишається невизначеність, а саме: ми отримуємо не одну альтернативу, а деяку нечітку множину альтернатив. Якщо ОПР не може опрацьовувати таке подання розв’язку, то можна застосувати один із найбільш розповсюджених у літературі способів вибору єдиної альтернативи, який полягає у виборі альтернативи, яка має найбільшу степінь належності до нечіткого розв’язку, тобто альтернативи, яка реалізує
.
Такі альтернативи називаються максимізуючими рішеннями.
У наведеному вище прикладі максимізуючим рішенням буде число 5, оскільки воно належить до нечіткого розв’язку із максимальним степенем.
П р и к л а д 5.2. Розв’язати задачу досягнення нечітко визначеної цілі, якщо ціль та обмеження подано такими функціями належності:
Розв’язування
Для розв’язування цієї задачі будемо використовувати підхід Белмана-Заде:
.
Для зручності зобразимо графіки функцій належності цілі та обмежень (див. рис.5.1).
Рис. 5.1. Графічне розв’язування задачі досягнення нечітко визначеної цілі
Тут товстою лінією показано функцію належності нечіткого розв’язку D задачі. Опишемо її аналітично. Для цього знайдемо точки перетину функцій належності цілі і обмеження. складемо рівняння:
Розв’язуючи його отримуємо координати двох точок перетину: x1 = 0 та x2 = 4,5. Тепер ми можемо записати аналітичний вигляд функції належності рішення:
Максимізуючим рішенням буде альтернатива x2 = 4,5, її степінь належності нечіткому рішенню .
Розглянута вище ситуація прийняття рішень характеризувалася тим, що і цілі і обмеження були підмножинами однієї і той же самої універсальної множини. Більш детальною є постановка задачі, в якій нечіткі цілі й обмеження є підмножинами різних універсальних множин. Розглянемо її.
Нехай, як і раніше, Х – універсальна множина альтернатив, й нехай подано однозначне відображення , значення якого (елементи множини Y) можна розуміти як реакції деякої системи на вихідні дії х Х або як деякі оцінки виборів відповідних альтернатив.
Нечітка ціль при цьому описується у вигляді нечіткої підмножини універсальної множини реакцій (оцінок) Y, тобто у вигляді функції , а обмеження є нечіткими підмножинами вихідної множини Х з функціями належності , .
Задача при цьому зводиться до першої постановки (тобто до випадку, коли ціль – нечітка підмножина Х) таким чином.
Визначимо нечітку множину альтернатив станів , які забезпечують досягнення даної мети . Ця множина є прообразом нечіткої множини при відображенні , тобто
.
Після цього вихідна задача розглядається як задача досягнення нечіткої цілі при вихідних нечітких обмеженнях.
О з н а ч е н н я 5.1. Нехай G й C нечіткі множини мети (в Y) та обмежень (в Х). Нечітким розв’язком задачі досягнення цілі G при обмеженнях С назвемо максимальну множину D, яка має такі властивості:
1. (розв’язок є допустимою альтернативою);
2. (досягнення нечіткої цілі), де – образ D при нечіткому відображенні .
У випадку, коли подано нечітке відображення з множини альтернатив у множину реакцій або оцінок, нечіткий розв’язок ми можемо визначити, користуючись визначенням прообразу, яке введено у попередньому розділі.
Нехай Х – універсальна множина альтернатив, Y – універсальна множина оцінок, й нехай подане нечітке відображення Х в Y, функція належності якого . Кожній альтернативі це відображення ставить у відповідність її нечітку оцінку. Нечіткі обмеження описуються функцією належності .
За теоремою 4.6. прообраз D визначається таким чином:
,
,
Нечіткий розв’язок тоді описується функцією належності
або
Якщо необхідно вибрати конкретну альтернативу, то за розв’язок задачі, можна, наприклад, обрати ту, яка з максимальним степенем належить до нечіткого розв’язку , тобто альтернативу, яка реалізує величину . Однак, цей вибір не можна вважати достатньо обґрунтованим, існують також інші способи обирання.
Отже, підхід Белмана-Заде спирається на можливість симетричного опису множини цілі і обмежень у вигляді нечітких підмножин однієї i тієї ж універсальної множини. Це дозволяє визначити розв’язок задачі у досить простому вигляді. Однак, не всяку задачу прийняття рішень можна сформулювати у такому вигляді.
Зауваження. Іноді важливість цілей і обмежень враховують за допомогою вагових коефіцієнтів. Тоді рішення задачі записується таким чином:
,
де – вагові коефіцієнти функцій цілі і обмежень відповідно, але такий підхід не можна вважати достатньо обґрунтованим.