4.9. Операції над нечіткими відношеннями

Розглянемо тепер операції над нечіткими відношеннями. Деякі з них є аналогом відповідних операцій для звичайних відношень, але є ще операції, які притаманні лише нечітким відношенням. Зауважимо, також, що операції «об’єднання» та «переріз» нечітких відношень можна так само, як і у випадку нечітких множин визначити декількома способами.

О з н а ч е н н я  4.19. Нехай на множині Х подано два нечітких відношення А та В, тобто у декартовому добутку Х² подано дві нечіткі підмножини А та В. Нечіткі множини та назвемо відповідно перерізом та об’єднанням нечітких відношень А та В на множині Х.

П р и к л а д  4.34. Відношення А та В подано у вигляді:

, .

Знайдемо переріз та об’єднання цих відношень за означеннями 4.6, 4.7:

, .

О з н а ч е н н я  4.20. Нечітке відношення В включає до себе нечітке відношення А, якщо для нечітких множин В та А виконується тобто

, .

У розглянутому прикладі 4.32 відношення включає до себе >>.

О з н а ч е н н я  4.21. Якщо R – нечітке відношення на множині Х, то нечітке відношення з функцією належності назвемо доповненням у Х відношення R.

Наприклад, для нечіткого відношення «краще», його доповнення – «не краще». Зворотне до R нечітке відношення на множині Х визначається таким чином:

, ,

або за допомогою функції належності , .

На відміну від звичайних відношень добуток (або композицію) нечітких відношень можна визначити багатьма способами.

Приведемо деякі з можливих визначень цієї операції.

О з н а ч е н н я  4.22. Максимінний добуток нечітких відношень А та В на множині Х визначається такою функцією належності:

.

У випадку скінченної множини Х матриця нечіткого відношення R дорівнює максимінному добутку матриць відношень А та В.

О з н а ч е н н я  4.23. Мінімаксний добуток нечітких відношень А та В на Х буде нечітке відношення з функцією належності:

.

О з н а ч е н н я  4.24. Максмультиплікативний добуток нечітких відношень А та В визначається функцією належності виду:

.

П р и к л а д  4.34. Нехай задані нечіткі відношення А та В.

, .

Знайдемо композиції відношень А та В за означеннями 4.22 – 4.24. Маємо:

max min – композиція:

,

min max – композиція:

,

max - композиція:

.

4.10. Властивості нечітких відношень

Розглянемо тепер властивості нечітких відношень.

О з н а ч е н н я  4.25. Нечітке відношення R на множині Х називається рефлексивним, якщо для будь-якого виконується .

Якщо множина Х – скінченна, головна діагональ матриці рефлексивного нечіткого відношення включає самі одиниці.

Приклад рефлексивного відношення – відношення «приблизно дорівнює» на множині чисел.

О з н а ч е н н я  4.26. Нечітке відношення R буде антирефлексивним, якщо для .

Доповнення рефлексивного відношення антирефлексивно. Прикладом антирефлекстивного відношення на множині чисел може бути відношення «значно більше».

О з н а ч е н н я  4.27. Нечітке відношення R на множині Х називається симетричним, якщо для будь-яких виконується .

Матриця симетричного нечіткого відношення, поданого у скінченній множині, симетрична. Приклад такого відношення – відношення «сильно відрізнятися за величиною».

О з н а ч е н н я  4.28. Відношення R на множині Х буде асиметричним, якщо воно має таку властивість:

або ,

іншими словами:

.

Асиметричним є відношення «значно більше».

О з н а ч е н н я  4.29. Відношення R на множині Х буде антисиметричним, якщо

О з н а ч е н н я  4.30. Нечітке відношення R на множині Х називається транзитивним, якщо

Очевидно, властивість транзитивності залежить від способу визначення добутку відношень. Згідно з введеними раніше визначеннями ми можемо ввести три види транзитивності: max min‑транзитивність, min max‑транзитивність, max‑‑транзитивність.

Легко побачити, що R²_max- R²_maxmin. Отже, з max min‑транзитивності випливає max-транзитивність. Прикладом max min- транзитивного відношення може бути відношення «значно більше» на множині чисел.

П р и к л а д  4.35. Перевірити транзитивність нечіткого відношення, що має вигляд

.

Розв’язування

Знайдемо композиції .

отже нечітке відношення R є max min‑транзитивним й max--транзитивним. Перевіримо min max‑транзитивність.

R² _{min max}.

отже відношення R не є min max‑транзитивним.

О з н а ч е н н я  4.31. Транзитивним замиканням нечіткого відношення R буде нечітке відношення таке, що

При визначенні транзитивного замикання необхідно визначити тип операції добутку відношень.

Має місце така теорема.

Т е о р е м а  4.2. Транзитивне замикання будь-якого бінарного відношення R є транзитивним бінарним відношенням і це найменше транзитивне відношення, що включає до себе R.

Зауважимо, що -рівень транзитивного замикання нечіткого відношення співпадає з транзитивним замиканням відповідного -рівня.

Приведемо формулювання двох теорем, які дозволяють побудувати транзитивне замикання у деяких випадках.

Т е о р е м а  4.3. Якщо існує таке k, що , то

.

Т е о р е м а  4.4. Нехай R – подане нечітке відношення на скінченній множині E і m(E) = n. Тоді або існує таке , що

П р и к л а д  4.36. Побудуємо транзитивне (max min) замикання відношення R, якщо

.

Для цього обчислимо послідовно R², R³.

, .

Отримуємо, що отже

.