4.6. Звичайна підмножина - рівня нечіткої множини
О з н а ч е н н я 4.13.
Нехай
.
Підмножиною
-
рівня
нечіткої підмножини A
будемо називати звичайну множину
.
(4.50)
П р и к л а д 4.24.
Нехай нечітка множина А
задана
у вигляді:
.
Визначимо множини рівня 0,3 та 0,5 цієї
нечіткої підмножини:
,
А0,3 = {x1,
x3,
x4,
x5,
x7},
А0,5 = {x1,
x3,
x5,
x7}.
П р и к л а д 4.25. Нехай універсальна множина X = {1, 2, ... , 6}, а функцію належності нечіткої множини A в X подано таблицею
.
Тоді для множини A можна виписати такі множини рівня:
A0,1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A0,3 = { 2, 3, 4, 5, 6},
A0,5 = { 3, 4, 5, 6}, A0,7 = { 4, 5, 6},
A0,9 = { 5, 6}, A1 = { 6}.
П р и к л а д 4.26.
Нехай
,
функцію належності
нечіткої множини A
зображено на рис. 4.12, а. Множини рівня
1
та 2
та їх функції належності зображено на
рис. 4.12, б та 4.12, в.
Рис. 4.12. Множини рівня
Як
видно з цих прикладів, для будь-яких α1
та 2,
таких що 0 < 1 1,
0 < 2 1,
і 2 < 1
для відповідних множин рівня
та
буде виконано
.
Множинами рівня зручно користуватися при формулюванні та аналізі деяких задач прийняття рішень, і це ми будемо використовувати далі.
Нехай
та
множини рівня
обєднання
та перерізу нечітких множин A
та B
відповідно. Розглянемо зв’язок цих
множин з множинами рівня
та
.
Якщо для операцій перерізу та обєднання
прийняти означення 4.7 та 4.6. відповідно,
то цей зв’язок такий:
У випадку означень 4.6, б. та 4.7 а. ми маємо лише включення
.
Для нечітких підмножин вірна теорема про декомпозицію.
Т е о р е м а 4.1. Будь-яку нечітку підмножину A можна розкласти на її множини рівня, тобто подати її у вигляді
,
(4.51)
де
,
обєднання
нечітких множин береться по всіх
з [0,1],
П р и к л а д 4.27. Для множини A та її множин рівня з приклада 4.25 ми можемо записати так:
А = 0,1{1, 2, 3, 4, 5, 6}
0,3{2, 3, 4, 5, 6}
0,5{3, 4, 5, 6}
0,7{4, 5, 6}
0,8{5, 6}
1{6}.
Формула розкладання буде вірною і у випадку, коли універсальна множина має потужність континуума.
П р и к л а д 4.28.
Нехай нечітка множина
подана своєю функцією належностіi
.
Розглянувши відрізок [,1],
де 0 < 1,
можемо записати
таким чином в цьому прикладі
Теорему про декомпозицію можна застосувати не тільки для аналізу, але і для синтезу.
Розглянемо послідовність звичайних підмножин A1 A2 A3 ... An, та надамо значення 1 для A1, 2 для A2 і так далі n для An, причому 1 > 2 > ... > n, тоді, використовуючи формулу (4.51) одержимо нечітку підмножину A.
П р и к л а д 4.29. Нехай подана звичайна множина X = {x1, x2, x3, … , x10}, її підмножини:
А1 = {x1, x4, x5, x7, x9},
A2 = {x1, x4, x5, x6, x7, x9},
A3 = {x1, x2, x4, x5, x6, x7, x9},
A4 = {x1, x2, x4, x5, x6, x7, x9, x10},
і числа 1 = 0,9, 2 = 0,5, 3 = 0,4, 4 = 0,1.
Використаємо формулу (4.51) і отримаємо нечітку множину A.
Побудуємо
спочатку множини
,
за формулою:
Тоді маємо:
,
,
,
,
Об’єднуючи ці нечіткі множини отримаємо нечітку множину А:
.