ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Мгновенная мощность. Активная мощность. Реактивная мощность. Полная мощность. Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия.
Пусть имеем участок цепи R–X (рис. 7.1), находящийся под воздействием гармонического напряжения.
Рис. 7.1
При напряжении на участке цепи u = Umcos ωt (ψ = 0) в цепи течет ток i = Imcos (ωt – φ).
Мгновеннаямощность.
Мгновеннаямощность, поступающаявцепь P = ui =Um Imcosωt cos(ωt −ϕ)= = Um2Im cosϕ+ cos(2ωt −ϕ) состоит из двух составляющих: постоянной ве-
личины Um2Im cosϕ и гармонической Um2Im cos(2ωt −ϕ), колеблющейся с уд-
военной частотой.
На рис. 7.2 приведены временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-61- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Мгновенная мощность
cosφ
0
Рис. 7.2
Сравнивая кривую мгновенной мощности, изображенную на рис. 7.2,
с аналогичными кривыми, полученными для цепей с реактивными элементами (рис. 5.7), можно увидеть, что, в отличие от рис. 5.7, площадь, ограничен-
ная положительными ординатами кривой, превышает площадь отрицательных участков. Это свидетельствует о том, что энергия частично расходуется
вактивном сопротивлении R, подобно тому, что наблюдается в цепи с сопротивлением (рис. 5.5). Однако одновременно некоторое количество энергии
периодически то накапливается в магнитном или электрическом полях реактивного сопротивления X, то возвращается к генератору.
Выражение для мгновенной мощности может быть также представлено
виной форме
P = ui =UmIm cosωt[cosωt cosϕ+sin ωt sin ϕ]=
= |
UmIm |
cosϕ(1 |
+ cos2ωt )+ |
Um Im |
sin ϕsin 2ωt. |
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
||
Очевидно, что первое слагаемое является мгновенной скоростью расходования энергии в цепи, т. е. мощностью, потребляемой активным сопротивлением.
Второе слагаемое представляет собой мгновенную скорость запасания энергии в магнитном или электрическом поле цепи.
Активнаямощность.
Среднее значение мощности за период, равное активной мощности
|
T |
∫ |
2 |
|
P = |
1 |
T uidt = |
Um Im |
cosϕ =UI cosϕ. |
|
|
|||
A |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-62- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Активная мощность
В отличие от цепи, содержащей только активное сопротивление, где
PA = UI = RI2, теперь PA < UI.
Таким образом, активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока, умноженному на cos φ, который носит название коэффициента мощности. Чем ближе угол φ к нулю, ближе cos φ к единице, тем большая активная мощность будет передаваться от источника к нагрузке при заданном напряжении.
Реактивнаямощность.
Мгновенная скорость запасания энергии – реактивная мощность – имеет абсолютное значение
Q = Um2Im sin ϕ =UI sin ϕ.
Знак Q свидетельствует о характере запасаемой энергии. Если Q > 0, то энергия запасается в магнитном поле; если же Q < 0, энергия накапливается в электрическом поле цепи.
В отличие от чисто реактивной цепи, для которой Q = Um2Im =UI , в
смешанной цепи Q < Um2Im .
|
|
X |
|
|
I |
X , то Q = |
I 2 |
X |
= I 2 X . |
Поскольку sin ϕ = |
|
|
= |
|
|
m |
|
||
|
Z |
U |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАР). Реактивная мощность, подводимая к индуктивности,
Q =UI sin π |
= ωLI 2 |
= ωLIm2 |
= ωW |
, |
|
L |
2 |
|
2 |
L max |
|
|
|
|
|
||
где WL max – максимальное значение энергии магнитного поля, запасаемой в индуктивности.
Реактивная мощность, подводимая к емкости,
Q =UI sin |
|
− |
π |
= −ωCU 2 |
= −ωCUm2 |
= −ωW |
, |
|
C |
|
|
2 |
|
|
2 |
C max |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где WC max – максимальное значение энергии электрического поля, запасаемой емкостью.
В цепи, содержащей индуктивность и емкость, реактивная мощность
равна Q = ω(WL max – WC max).
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-63- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Полнаямощность.
Величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока на зажимах цепи S = UI, называется полной мощностью и измеряется в вольт-амперах (ВА).
Поскольку PA = UIcosφ = Scosφ, Q = UIsinφ = Ssinφ, то, очевидно
S 2 = PA2 +Q2 ;
tg ϕ = Q .
PA
Энергетический расчет цепи гармонического тока может быть проведен и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следующим приемом.
Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z под действием
комплексной |
амплитуды напряжения Um =Ume jψU протекает |
ток с ком- |
плексной амплитудой Im = Ime jψi . |
|
|
Найдем |
произведение из комплексной амплитуды |
напряжения |
Um =Ume jψU и комплексного числа, сопряженного с комплексной амплиту-
*
дой тока Im = Ime− jψi .
Разделив полученное произведение на два, имеем
S = Um Im e j(ψU − jψi ) = Um Im e jϕ = Um Im cosϕ+ j Um Im sin ϕ. |
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
Таким образом, вещественная часть полученного произведения равна активной мощности PA, а мнимая часть реактивной мощности Q.
На комплексной плоскости соотношение между мощностями может быть представлено в виде треугольника мощностей (рис. 7.3), подобного треугольнику сопротивлений.
Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на комплексный ток и поделить полученное произведение на два, то получим:
*
Um Im = Um Im e j(ψi −ψU ) = Um Im e− jϕ = Um Im cosϕ− j Um Im sin ϕ. |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
*
Um2Im = PA − jQ .
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-64- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Полная мощность
Im
φ
Re
0
Рис. 7.3
Отсюда следует, что активная и реактивная мощности могут быть записаны в виде
P = |
1 U I +U I |
, |
Q = |
1 U I −U I . |
||||||||
|
|
|
* |
* |
|
|
|
|
|
* |
* |
|
A |
4 |
|
m m |
m m |
|
|
|
|
m m |
m m |
||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 j |
|
|
|
||
Для комплексов действующих значений напряжения и тока
|
1 |
|
* |
* |
|
|
|
1 |
* |
* |
|
|
|
P = |
|
|
U I |
+U I |
|
, |
Q = |
|
|
U I |
−U I |
|
. |
|
|
||||||||||||
A |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
||
Условиепередачимаксимумасреднеймощности отгенераторакнагрузке. Коэффициентполезногодействия.
Пусть |
источник ЭДС (рис. 7.4) с внутренним сопротивлением |
Zi = Ri + jXi |
подключен к сопротивлению нагрузки ZH = RH + jXH . |
Zi
Е |
|
|
|
|
|
|
|
ZН |
|
I |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.4
Амплитуда тока в цепи Im = |
|
|
Em |
|
|
|
|
. |
|
(R + R |
)2 +(X |
i |
+ X |
H |
)2 |
||||
|
|
||||||||
|
i |
H |
|
|
|
|
|||
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-65- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия
Средняя мощность, потребляемая нагрузкой,
PA = |
1 2 |
1 |
|
R E2 |
|
|
)2 . |
|
2 RH Im = |
2 (R + R )2 +(X + X |
|
||||||
|
|
|
|
H m |
|
|
|
|
|
|
|
i H |
|
i |
H |
|
|
Отсюда видно, что первым условием получения максимума PA является
равенство XH = –Xi.
В этом случае мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки,
1 |
R E2 |
|
|
|
PAmax = 2 |
H |
m |
|
. |
(R + R |
)2 |
|||
|
i |
H |
|
|
Дифференцируя по RH и приравнивая производную к нулю, получим второе условие, при выполнении которого активная мощность достигает наибольшего возможного (максимум максиморум) значения:
|
dP |
1 Em2 |
(Ri + RH )2 |
− 2(Ri + RH )RH Em2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|||
|
Amax = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dRH |
|
|
(R |
+ R )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
H |
|
|
|
|
|
|
Отсюда Ri = RH. |
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
E2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом условии активная мощность в нагрузке P |
|
= |
m |
= |
m |
. |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Am m |
|
8Ri |
|
8RH |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, условия получения наибольшей мощности в нагрузке могут быть выражены одной формулой RH + jXH = Ri – jXi.
Если это условие выполняется, то считается, что генератор и нагрузка
согласованы.
На рис. 7.5 показана зависимость PA max от отношения RH/RI. Поскольку ток в цепи протекает как через нагрузку, так и через внут-
реннее сопротивление генератора, то часть мощности генератора расходуется на его внутреннем сопротивлении и эту мощность можно считать бесполезно потерянной.
Коэффициент полезного действия равен:
η= |
|
PA |
, |
P |
+ P |
||
|
i |
A |
|
где Pi – мощность, расходуемая внутри генератора.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-66- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке. Коэффициент полезного действия
η
1,0
0,8
|
|
η |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rt |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Учитывая, что P |
= |
1 R I 2 |
и |
P = |
1 R I 2 |
, получим |
||||||
|
|
RH |
|
|
1 |
A |
|
2 H m |
|
i |
2 i m |
|
||
η= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
+ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
Ri |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ R |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
||
График зависимости коэффициента полезного действия от отношения RH/RI приведен на рис. 7.5.
Врежиме согласованной нагрузки (Ri = RH) полезная мощность максимальна, коэффициент полезного действия равен лишь 50 %, т. е. внутри генератора расходуется такая же мощность, какая выделяется в нагрузке, а отда-
ваемая генератором мощность вдвое превосходит полезную. При RH > Ri полезная мощность падает с ростом RH, в то время как коэффициент полезного действия продолжает расти, приближаясь к единице.
Втех случаях, когда получение высокого коэффициента полезного действия является решающим, следует выбирать режим цепи при RH > Ri.
Врадиотехнических цепях при преобразовании маломощных сигналов чаще всего стоит задача получения возможно большей полезной мощности,
вэтом случае следует добиваться режима согласования Ri = RH.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-67- |
ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
Контрольныевопросы
1.Из каких составляющих состоит мгновенная мощность?
2.Что такое активная мощность?
3.Что такое коэффициент мощности?
4.Какой характер имеет реактивная мощность?
5.Каково условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке?
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-68- |