ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Бруне. Примеры реализации RLC-двухполюсников.

ОбщийметодсинтезадвухполюсниковспотерямипоО. Бруне.

Рассмотренные выше методы реализации цепей с двумя типами элементов практически неприменимы в случае положительных вещественных функций с комплексными нулями и полюсами, так как в разложении на простые дроби положительность и вещественность вычетов не гарантируется.

Общий метод синтеза, разработанный О. Бруне, завершает доказательство основной теоремы синтеза демонстрацией того, что если рациональная функция является положительной и вещественной, то всегда существует линейный пассивный с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами двухполюсник, сопротивлением (или проводимостью) которого эта функция является.

Метод Бруне состоит из нескольких этапов, последовательно снижающих порядок заданной входной функции.

1. Поскольку полюсы положительной вещественной функции на мнимой оси простые, а вычеты в них вещественные и положительные, то соответствующие члены в разложении ее на элементарные дроби всегда могут быть реализованы одной из схем Фостера. Таким образом, при выделении из положительной вещественной функции полюсов на мнимой оси, включая p = 0 и p = ∞, достигается частичная реализация и упрощение данной функции.

После выделения полюсов оставшаяся функция проверяется на наличие нулей на мнимой оси и, если такие нули появляются, то берется обратная функция от оставшейся и выделяются получающиеся при обращении полюсы на оси jω. В результате остается функция, являющаяся положительной вещественной и не имеющая полюсов и нулей на мнимой оси, она называется функцией минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости F(p).

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее

Re F(jω)

2. Полученная функция минимальной реактивности может быть упрощена выделением минимального значения вещественной составляющей этой функции на мнимой оси (рис. 39.1).

Выделение minReF(jω) соответствует реализации последовательного сопротивления R1, если F(p) − входное сопротивление, или параллельного (шунтирующего) сопротивления, если F(p) − входная проводимость двухполюсника (рис. 39.2).

Оставшаяся функция F1(p) = F(p) – minReF(jω) является положительной вещественной, не имеет полюсов и нулей на мнимой оси и ее вещественная часть равна нулю при p = jω1(ReF(jω1) = 0), ее называют минимальной функцией.

Рис. 39.2

Частичная реализация заданной функции, вплоть до момента получения минимальной функции, приводит к цепи, состоящей из реактивных элементов L и C и активных сопротивлений R1 (рис. 39.2), которая называется

предварительной цепью Фостера.

3. Очевидно, если минимум R1 выделяется на конечной частоте jω1, то оставшаяся после его выделения минимальная функция F1(jω1) является чисто мнимой величиной.

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее

Предположим F1(p) = Z1(p) − минимальное сопротивление двух-

L1 < 0

Z1(jω1)

C

Рис. 39.4

Выделив из сопротивления Z1(p) сопротивление индуктивности pL1, получим Z2(p) = Z1(p) – pL1, которое имеет нуль на мнимой оси при p = +jω1 (действительно, Z2(jω1) имеет ReZ1(jω1) = 0 и при выделении индуктивности

L1 Z2(jω1) = 0).

Z2 (p)= Z1 (p)− pL1 = MN2((pp)).

Степень полинома M2(p) на единицу больше степени полинома M(p) (числителя функции Z1(p)).

4. Функция Y2(p) = 1/Z2(p) имеет полюс при p = +jω1, вычет в котором вещественный положительный. Выделение из функции Y2(p) полюса при

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее

p2 = −ω12 дает последовательный колебательный контур (рис. 39.4) с положи-

тельными L2 и C.

Из рис. 39.4 видно, что на частоте ω1 возникает последовательный резонанс контура L2C и правая часть схемы оказывается короткозамкнутой.

5. Оставшаяся после выделения контура L2C-функция

имеет степень числителя M3(p), равную n – 2, а степень знаменателя n – 1, а значит, имеет нуль в бесконечности. Положительная вещественная функция Z3(p) = 1/Y3(p) имеет полюс при p = ∞ с положительным вещественным вычетом, который выделяется и реализуется индуктивностью L3 > 0 (рис. 39.5).

C

Рис. 39.5

Функция Z4 (p)= Z3 (p)− pL3 = MN44 ((pp)) является положительной веще-

ственной функцией со степенями полиномов M4(p) и N4(p), равными n – 2. На этом завершается один цикл синтеза по Бруне, к оставшейся после него функции Z4(p) также может быть применен следующий цикл Бруне до полной реализации двухполюсника.

Полученные три индуктивности, одна из которых отрицательна, могут быть заменены трансформатором (рис. 39.6).

I2′

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее

Рис. 39.6

Условием эквивалентности цепей (рис. 39.6, а, б) является равенство их параметров:

U1 = Z11I1 + Z12I2′ .

U2 = Z21I1 + Z22I2′

Для трансформатора (рис. 39.6, б) справедлива система уравнений:

U1 = pLP I1 + pM I2′,

U2 = pM I1 + pLS I2′,

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Общий метод синтеза двухполюсников с потерями по О. Брунее

Если kCB = 1, то трансформатор называется совершенным, практически можно реализовать трансформатор, близкий к совершенному (kCB = 0,99).

Тогда

откуда

L1L2 + L1L3 + L2L3 = 0.

Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы одна из индуктивностей была отрицательной.

ПримерыреализацииRLC-двухполюсников.

Пример 1. Методом Бруне реализовать входную функцию

Zp(p) является входным сопротивлением реактивного двухполюсника.

Нули Zp(p) при p = ± j 3 103 , p = ∞; полюсы при p = 0, p = ±j2·103.

Zp(p) реализуется первой схемой Фостера, представленной на рис. 39.7.

L2′

Ca

ZP(p) С2′

Рис. 39.7

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации RLC-двухполюсников

Оставшаяся функция Z1′(p) является положительной вещественной и не имеет полюсов и нулей на мнимой оси, Z1′(p) − функция минимального

реактивного сопротивления.

2. Выделим из функции Z1′(p) минимальное значение вещественной

составляющей на мнимой оси. Для p = jω

Z1′( jω)= −−ω22+ j1033ω+ 2 1066 . 2ω + j10 ω+ 2 10

Разделяя вещественную и мнимую составляющие, получим

Вещественная составляющая имеет минимум в одной из точек, где производная ddω(Re Z1′( jω))= 0. Определим значения ω и min Re Z1′( jω) из этого условия:

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации RLC-двухполюсников

При полученных ω вещественная составляющая принимает следующие значения:

которая является минимальной функцией.

Частичная реализация входной функции дает предварительную цепь Фостера (рис. 39.8).

Рис. 39.8

3. Определим значения вещественной и мнимой частей Z1(p) при

ω2 = 2 103 .

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации RLC-двухполюсников

Re Z1 (p)ω2 = 2 103 = 0 , что и следовало ожидать, поскольку Z1(jω) − минимальная функция.

этого полюса дает последовательный колебательный контур L2C (рис. 39.9).

ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации RLC-двухполюсников

имеет полюс при p = ∞, который реализуется индуктивностью L3.

Z3 (p)= 3210−3 p + 32 = L3 p + R,

Полная и эквивалентная схемы, реализующие входную функцию, пока-

заны на рис. 39.10, рис. 39.11.