ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции. Свойства и реализация входных функций LC-двухполюсников.

Методыреализациидвухполюсникапозаданнойвходнойфункции.

Убедившись, что заданная функция F(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника, входной функцией которого она является. К настоящему времени разработано большое количество методов синтеза пассивных цепей, чаще всего используются два из них: первый − метод разложения входной функции на сумму простейших составляющих (метод последовательного выделения полюсов и постоянной); и второй − метод представления входной функции в виде непрерывной дроби.

1. Метод последовательного выделения полюсов и постоянной.

Сущность метода состоит в разложении функции F(p) на простые составляющие, реализацию которых можно определить непосредственно по их виду.

Пусть F (p)= MN ((pp)) имеет полюс в бесконечности. Тогда один шаг

деления M(p)/N(p) дает F(p) = H·p + F1(p), где H − положительная вещественная величина. Таким образом, выделяется полюс в бесконечности.

Если F(p) = Z(p) − сопротивление двухполюсника, то Z(p) = H·p + Z1(p) и H·p − сопротивление индуктивности; а если F(p) = Y(p) − проводимость, то

Y(p) = H·p + Y1(p) и H·p − проводимость емкости.

Если знаменатель функции F(p) имеет корень p = 0, то в разложении на простые дроби имеется член k0/p и

F (p)= MN ((pp)) = kp0 + F1 (p),

где k0 − вычет функции F(p) в полюсе p = 0.

При F(p) = Z(p)-сопротивлении член k0/p представляет собой последовательно включенную емкость, при F(p) = Y(p)-проводимости k0/p соответствует параллельно включенной индуктивности. Таким образом, выделяется полюс в начале координат.

Если F(p) имеет простой полюс на мнимой оси p = ±jωk, то

где kk − вычет в полюсе p = ±jωk.

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции

При F(p) = Z(p)-сопротивлении сопротивление параллельно соединен-

Если число пар сопряженных полюсов функции F(p) q, то и параллельных или последовательных контуров также q.

После выделения из функции F(p) полюсов на мнимой оси остается функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости в зависимости от того, что представляет собой F(p)-сопротивление или проводимость. В частном случае может остаться положительная постоянная величина, которая реализуется последовательным активным сопротивлением, если F(p) = Z(p), или шунтирующим активным сопротивлением, если F(p) = Y(p).

Следует отметить, что величина этого сопротивления R = k ≤ minReF(jω), так как разность F(p) – k = F1(p) − положительная вещественная функция (если k > minReF(jω), то ReF1(jω) станет отрицательной для некоторых частот, а это значит, F(p) не будет положительной вещественной функцией).

Если же оставшаяся функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости имеет все нули и полюсы, лежащие на вещественной отрицательной полуоси, то двухполюсник, обладающий такой входной функцией, реализуется совокупностью RL- или RC-элементов.

Таким образом, каждое выделение полюса понижает сложность входной функции, и, в конце концов, эта функция будет исчерпана полностью, в результате получается одна из двух схем (рис. 37.1).

Схемы рис. 37.1 называются первой и второй каноническими схемами Фостера. Любая из них содержит минимальное количество реактивных элементов, которое необходимо для построения заданной частотной зависимости входного сопротивления или входной проводимости.

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции

а

б

Рис. 37.1

2. Метод представления входной функции в виде непрерывной дроби. Наряду со схемами Фостера возможно построение канонических схем в виде цепной или лестничной схем (рис. 37.2).

Очевидно, Z(p) = Z1(p) + Zab(p),

Рис. 37.2

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции

Для построения лестничной схемы следует представить входную функцию в виде отношения полиномов, не разложенных на множители:

Если функция F(p) = Z(p) − сопротивление и n = m + 1, то имеется полюс при p = ∞, который устраняется одним шагом деления числителя на знаменатель:

Z (p)= A1 p + NM(1(pp)) = A1 p + Z1′(p).

Функция Z1′(p) обращается в нуль при p = ∞, обратная ей функция

Y1′(p)= Z1′1(p) имеет при p = ∞ простой полюс и после выделения целой час-

ти может быть представлена в виде суммы двух функций:

Y1′(p)= A2 p +Y2′(p).

Поступая аналогично, находим

Z2′ (p)= Y2′1(p) = A3 p + Z3′(p).

Повторяя подобные преобразования n раз, получим

Очевидно, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2),

если

A1(p) = Z1(p), A3(p) = Z3(p), ..., An–1(p) = Zn–1(p),

A2(p) = Y2(p), A4(p) = Y4(p), ..., An(p) = Yn(p).

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции

Описанный процесс деления и обращения (инверсии) идентичен методу проверки полиномов Гурвица.

Возможен второй вариант разложения в непрерывную дробь по пара-

метру 1p , при котором устраняется полюс функции в точке p = 0. Разделив числитель и знаменатель функции F(p) на pn и обозначив 1p = q , получим

F (q)= an + an−1q + an−2q2 +…+ a1 pn−1 + a0qn . bmqn−m +bm−1qn−m+1 +…+b1qn−1 +b0qn

Если F(q) = Z(q) − сопротивление, то разложение в цепную дробь дает

Как и в первом варианте, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2) при

B1 (q)= Bp1 = Z1 (p), B3 (q)= Bp3 = Z3 (p),…, Bn−1Bn−1 (q)= Bnp−1 =

= Zn−1( p) = Bnp−1 = Zn−1 (p),

B2 (q)= Bp2 =Y2 (p), B4 (q)= Bp4 =Y4 (p),…, Bn (q)= Bpn =Yn (p).

Соответствующие двум вариантам разложения цепные схемы называются первой и второй каноническими схемами Кауэра.

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

СвойстваиреализациявходныхфункцийLC-двухполюс-ников.

Выше было показано, что функция входного сопротивления двухполюсника без потерь (LC) записывается в виде

Z (p)= F0 + pT0 + Vp0 = pT0 + Vp0 ,

F0 ≡ 0 − энергетическая функция, характеризующая потери в сопротивлениях.

= R(σ,ω)+ jX (σ,ω).

Наибольший интерес представляет случай p = jω (σ = 0)

Z(jω) = jX(ω), R(σ,ω) = 0.

Аналогично для функции входной проводимости Y(p) = 1/Z(p) при p = jω:

Y(p) = G(σ,ω) + jB(σ,ω) = jB(ω).

Таким образом, входные функции LC-двухполюсников являются реактансными, т. е. имеющими нули и полюсы только на мнимой оси.

Одним из важнейших свойств входных функций является положительный наклон графиков их частотных зависимостей. Действительно, на основании условий Коши – Римана необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция u + jv = f(x + jy) была аналитической, являются

и чтобы эти частные производные в рассматриваемой области были непрерывны.

Для Z(p) = R(σ,ω) + jX(σ,ω)

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников

Из монотонного нарастания X(ω) и B(ω) следует, что нули и полюсы функций Z(p) и Y(p) чередуются. Это свойство называется разделительным.

Простые и сопряженные полюсы и нули на мнимой оси обусловлены сомножителями в числителе и знаменателе Z(p) или Y(p) вида (p2 +ω2k ) и p.

Кроме того, независимо от вида и сложности LC-цепь ведет себя как одиночная индуктивность или как одиночная емкость на очень низких и очень высоких частотах, а это значит, что функции Z(p) и Y(p) всегда имеют полюс или нуль при p = 0 и p = ∞. Следовательно, высшая и низшая степени полиномов числителя и знаменателя входных функций двухполюсника должны отличаться на единицу.

Таким образом:

где ω1 ω3,... − нули: ω2,... − полюсы − 0 ≤ ω1 < ω2 < ω3 < ω4 ...

Если полином M(p) − четный, то полином N(p) − нечетный, и наоборот, если N(p) − четный, то M(p) − нечетный.

Следует отметить, что в зависимости от наличия внешних нулей и полюсов возможны четыре варианта входных функций двухполюсника (рис. 37.3).

а) − степень M(p) меньше степени N(p), в числителе сомножитель p; б) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в числителе; в) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в знаменателе; г) − степень M(p) меньше степени N(p), сомножитель p в знаменателе.

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников

Рис. 37.3

Наиболее простыми цепями, реализующими заданную входную реактанстную функцию, являются канонические цепи Фостера и Кауэра.

Первая цепь Фостера получается при разложении входного сопротивления на сумму простых дробей, число которых определяется числом полюсов Z(p):

Коэффициенты разложения (вычеты) определяются:

Суммированию простых дробей Zk(p) соответствует последовательное соединение реализующих простых элементов L, C0 и параллельных контуров.

Полная реализация двухполюсника в этом случае имеет вид, показанный на рис. 37.4.

ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников

Рис. 37.4

Наличие внешних нулей и полюсов функции Z(p) определяет наличие в цепи индуктивности L = H и емкости C0 = 1/k0. Если Z(p) имеет два внешних нуля (частотная характеристика вида – рис. 37.3, а), то в цепи отсутствуют индуктивности L = H и емкости C0, если имеет два внешних нуля (частотная характеристика (рис. 37.3, в), то индуктивность L = H и емкость C0 в цепи имеются. При наличии одного внешнего нуля и полюса у Z(p) (частотные характеристики (рис. 37.3, б, г) в цепи присутствует один из элементов либо L,

либо C0.

Пример 1. Реализовать первую цепь Фостера для функции

( ) 102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 104 )

Z p = (p2 + 2 104 )(p2 + 6 104 )(p2 +10 104 ).

Решение. Построим график, характеризующий частоты нулей и полюсов входного сопротивления − характеристическую строку двухполюсника.