ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства входных функций RC-двухполюсников. Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников. Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников.

СвойствавходныхфункцийRC-двухполюсников.

Функция входного сопротивления RC-двухполюсников

Z (p)= F0 + Vp0 .

(T0 ≡ 0 − отсутствуют индуктивности.) Нули ZRC(p) должны удовлетворять

условию p = −V0 , следовательно, нули, а также полюсы входных функций

F0

RC-цепей являются отрицательными вещественными, поскольку V0 и F0 положительные и вещественные.

ZRC (p)= F0 + Vp0 = F0 + σ2σ+V0ω2 − j σ2ω+V0ω2 = R(σ,ω)− jX (σ,ω).

Очевидно, что реактивная составляющая входного сопротивления в верхней полуплоскости (ω > 0) отрицательна. Отсюда следует, что ZRC(p) не может иметь полюса при p = ∞, поскольку выделение его дало бы слагаемое H·p, реализуемое индуктивностью. Кроме того, мнимая часть H·ω > 0 при ω > 0, что противоречит условию отрицательности X(σ,ω).

Таким образом, степень полинома числителя ZRC(p) может быть равна или на единицу меньше степени полинома знаменателя.

Пользуясь одним из условий Коши – Римана, получим

т. е., как и в случае LC-двухполюсников, справедливо разделительное свойство (нули и полюсы ZRC(p) и YRC(p) чередуются на вещественной оси), на-

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства входных функций RC-двухполюсников

клон графика входного сопротивления всегда отрицательный, а входной проводимости − положительный (рис. 38.1).

YRC(p)

ZRC(p)

Рис. 38.1

Обобщенную функцию сопротивления RC-цепи можно записать в виде

где 0 ≤ σ1 < σ2 < σ3..., m = n или n = m – 1.

Разложение ZRC(p) на простые дроби дает

Вещественные положительные вычеты:

kk = lim ZRC (p)(p + σk ) .

p→−σk

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства входных функций RC-двухполюсников

Из полученного разложения ZRC(p) следует, что

функции ZRC(p) (полюс может быть при p = 0).

Ближайшая к бесконечности критическая частота является нулем функции ZRC(p) (нуль может быть при p = ∞).

Простейшая составляющая Zk = kk/(p + σk) представляет собой параллельное соединение двух ветвей.

Таким образом, получаем схему Фостера первого типа (рис. 38.2).

ПримерыреализациивходныхфункцийRC-двухполюсников.

Пример 1. Реализовать двухполюсник первой схемой Фостера по функции входного сопротивления

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Примеры реализации входных функций RC-двухполюсников

где

k1 = lim 3 Z (p)(p + 2 103 ) =1,5 106 ,

p→−210

k3 = lim 3 Z (p)(p + 4 103 ) = 0,5 106.

p→−410

Соответствующая разложению Z(p) первая схема Фостера представлена на рис. 38.4.

Определим элементы цепи

Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби функции входной проводимости YRC(p). Из характера кривой YRC(σ) (рис. 38.1, б) видно, что ближайшей к началу координат критической точкой является нуль (нуль может быть и при p = 0), кроме того, YRC(0)p ≤ YRC(∞).

Если разлагать на простые дроби непосредственно YRC(p), то получаются отрицательные вычеты, что является специфическим свойством функции

YRC(p).

Чтобы получить простые дроби с положительными вычетами, следует разлагать функцию YRC(p)/p, степень числителя которой равна или на единицу меньше степени знаменателя.

Очевидно, k0 = 1/R0 − постоянная проводимость; H·p − величина, характеризующая полюс при p = ∞, H = C.

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников

Аналогично для проводимости

YRL (p)= ZRL1(p), YRC (σ,ω)= g (σ,ω)− jb(σ,ω),

YRL (σ,ω) = g (σ,ω)+ jb(σ,ω).

тельно, нули и полюсы входных функций RL-цепей лежат на отрицательной вещественной полуоси и, учитывая, что наклон графиков ZRL(σ) всегда положительный, а YRL(σ) − отрицательный, можно утверждать справедливость разделительного чередования нулей и полюсов.

Типичные зависимости ZRL(p) и YRL(σ) аналогичны зависимостям YRC(σ) и ZRC(σ), приведенным на рис. 38.1. Очевидно, что функция входного сопротивление RL-цепи может иметь полюс при p = ∞, выделение которого дает индуктивность и не может иметь полюс при p = 0, поскольку выделение его дало бы емкость. Таким образом, ZRL(p) имеет степень числителя, равную или на единицу большую степени знаменателя.

Аналогично, функция входной проводимости может иметь степень числителя, равную или на единицу меньшую степени знаменателя. Следует также отметить, что критическая точка, ближайшая к началу координат функции ZRL(p), является нулем, а YRL(p) − полюсом, и наоборот, ближайшая к бесконечности критическая точка ZRL(p) является полюсом, а YRL(p) − ну-

лем. Кроме того, ZRL(∞) ≥ ZRL(0), YRL(∞) ≤ YRL(0).

Обобщенные формы функций ZRL(p) и YRL(p) имеют вид, аналогичный функциям YRC(p) и ZRC(p), следовательно, методы синтеза RL-двухпо- люсников полностью аналогичны методам синтеза RC-двухполюсников.

Выражение для входной проводимости ZRL(p) и разложение его на простые дроби аналогично разложению ZRC(p):

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников

Соответствующая данному разложению вторая схема Фостера приведена на рис. 38.6.

Рис. 38.6

Вещественные положительные вычеты

kk = lim YRL (p)(p +σk ) .

p→−σk

Первую схему Фостера можно получить разложением на простые дроби функции ZRL(p)/p, которое аналогично разложению функции YRC(p)/p:

ное соединение Rk и Lk. Действительно,

Основы теории цепей. Конспект лекций

ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Свойства и реализация входных функций RL-двухполюсников

Таким образом, первая схема Фостера имеет вид (рис. 38.7).

Рис. 38.7

Реализация лестничных цепей Кауэра первого и второго типа аналогична реализации RC-цепей, если поменять местами функции ZRL(p) и YRC(p).

Для получения схемы Кауэра первого типа осуществляют последовательное деление начиная со старших степеней функции ZRL(p), степень числителя которой на единицу больше степени знаменателя, а также функции YRL(p), имеющей одинаковые степени числителя и знаменателя.

Для получения схемы Кауэра второго типа осуществляют поочередное деление начиная с младших степеней функции ZRL(p) с одинаковыми степенями числителя и знаменателя, а также функции YRL(p), степень числителя которой меньше степени знаменателя.

Контрольныевопросы

1.Где на комплексной плоскости лежат нули и полюсы входных функций RC-цепей?

2.Чем является ближайшая к началу координат критическая частота входных функций RC-цепей?

3.Чем является ближайшая к началу координат критическая частота входных функций RL-цепей?