Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М.Ф. Решетнева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТЦ лекции.pdf

Скачиваний:

1071

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

6.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Законы коммутации и начальные условия. Принужденный и свободный режим. Переходные процессы в RL-цепи. Включение в RL-цепь постоянного напряжения. Короткое замыкание RL-цепи. Включение в RL-цепь гармонического напряжения.

Используемые для анализа линейных электрических цепей установившиеся процессы, при которых напряжения и токи постоянные величины либо гармонические функции времени, практически не реализуемы, так как все физические процессы имеют начало и конец. Следовательно, любое непериодическое изменение воздействия, изменение конфигурации цепи или параметров, входящих в нее элементов, приводит к тому, что режим цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к неустановившемуся режиму, принято называть коммутацией. Нестационарные процессы, возникающие в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Большая роль переходных процессов в работе современных радиоэлектронных устройств обусловлена тем, что практически всегда передача, прием и обработка информации отражаются неустановившимися (нестационарными) процессами в электрических цепях. Поскольку переходные процессы в радиоэлектронных устройствах определяют основные параметры формирователей сигналов, скорость передачи информации, влияние помех, а также искажения сигналов в канале связи, рассмотрение методов анализа и расчета переходных процессов в электрических цепях является важной задачей. Ниже рассмотрены переходные процессы в линейных электрических цепях при различных воздействиях (постоянной и гармонической ЭДС, а также при сложных формах входных сигналов).

Законыкоммутациииначальныеусловия.

Возникновение переходных процессов в цепи обусловлено наличием в ней реактивных элементов (индуктивностей и емкостей), в которых накапливается энергия магнитного и электрического полей. При коммутации изменяется энергетический режим работы цепи, причем эти изменения не могут осуществляться мгновенно, поскольку скорость изменения энергии P = dW/dt – мощность, отдаваемая или потребляемая соответствующими элементами цепи, не может быть бесконечно большой.

Это положение носит название принципа непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи, из которого следует непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на

Основы теории цепей. Конспект лекций

-153-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Законы коммутации и начальные условия

емкостях. Вывод о непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на емкостях формулируется в виде законов коммутации.

Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: iL(0).

Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: UC(0–) = UC(0).

Следует отметить, что в цепях с идеализированными элементами скачкообразно могут изменяться: а) напряжения на R и L; б) токи в R и С.

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t = 0) называются независимыми начальными условиями.

При нулевых начальных условиях (iL(0–) = 0) индуктивность в момент коммутации эквивалентна разрыву (режим холостого хода), при ненулевых начальных условиях эквивалентна идеальному источнику тока, поскольку величина тока, проходящего через зажимы, не зависит от величины приложенного напряжения. Емкость же при нулевых начальных условиях (UC(0–) = 0) эквивалентна короткому замыканию, поскольку разность потенциалов на обкладках конденсатора скачком измениться не может. При ненулевых начальных условиях емкость эквивалентна идеальному источнику ЭДС, поскольку напряжение не зависит от величины протекающего тока в момент коммутации.

Таким образом, независимые начальные условия характеризуют запасенную в цепи к моменту коммутации энергию магнитного и электрического полей

W =	Li2	(0−)	; W =	CU 2
W =	L		; W =	C .
L		2	C	2
		2		2

Наряду с независимыми начальными условиями используются также зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений и их производных по времени в начальный момент t = 0.

Принужденныйисвободныйрежим.

В основе всех методов расчета переходных процессов в линейных цепях лежит составление интегродифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются на основе уравнений Кирхгофа, метода контурных токов, метода узловых потенциалов и т. д.

Например, пусть имеем цепь с последовательным соединением R, L, C при воздействии ЭДС e(t) (рис. 18.1). Если RLC-цепь подключается к источ-

Основы теории цепей. Конспект лекций

-154-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принужденный и свободный режим

нику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t ≥ 0 справедливо уравнение


Ri + L di		+	1		∫idt = e(t ).
Ri + L di		+	C		∫idt = e(t ).
	dt		C

t = 0
				R
				R		L

			C
	е(t)		C
	е(t)

Рис. 18.1

После дифференцирования по t получим уравнение

L	d 2i	+ R	di	+	i	=	de	.
	dt2		dt		C		dt

Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В частности, можно использовать классический метод, согласно которому решение уравнения находится в виде суммы двух функций: Y(t) = Y1(t) + Y2(t), где Y1(t) – частное решение, которое определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемый внешними источниками (правой частью уравнения F(t) = de/dt), Y2(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения (при F(t) = 0), характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начального электрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные (собственные) составляющие.

Таким образом, Y(t) = YПР(t) + YСВ(t).

Для определения принужденной составляющей переходного процесса в цепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации.

Для нахождения свободной составляющей YСВ(t) необходимо найти корни характеристического уравнения

Lp2 + Rp + C1 = 0.

(Действительно, если общее решение дифференциального уравнения ищется в виде

Основы теории цепей. Конспект лекций

-155-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принужденный и свободный режим

i(t )= Aept , то	di	= pAept = pi,	∫idt = ∫Aept dt =	Aept	=	i	.
	dt			p
						p

и, подставив выражения для тока, производной от тока по времени и интеграла в первое уравнение, получим характеристическое, имеющее два корня

р1 и р2).

Таким образом, решение для свободной составляющей тока представляет собой сумму двух экспонент

i(t ) = A1ep1t + A2ep2t .

В общем же случае в сложной электрической цепи переходные процессы описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:

a	d nY	+ a	d n−1Y	+…+ a dY	+ a Y = F (t ),
	n dtn		n−1 dtn−1	1 dt	0

где Y(t) – искомая функция (ток или напряжение); ап, ап – 1, ...; а1, а0 – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров цепи; F(t) – известная функция, зависящая от внешнего воздействия.

Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи при F(t) = 0:

апрп + ап – 1рп–1 +...а1р + а0 = 0.

Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет вид

Y (t )= A1ep1t + A2ep2t +…+ Anepnt = ∑Ak epkt ,

k=1

где А1, А2, ..., Ап – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их n – 1 – первых производных в начальный момент времени после коммутации).

Так как начальный запас энергии в реактивных элементах цепи всегда ограничен, то при наличии потерь свободные составляющие с течением времени затухают, и при t, стремящемся к бесконечности, в цепи будет наблюдаться только принужденный режим.

На основании законов коммутации

Основы теории цепей. Конспект лекций

-156-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Принужденный и свободный режим

iL(0) = iLПР(0) + iLСВ(0), откуда iLСВ = iL(0–) – iLПР(0),

UC(0) = UCПР(0) + UCСВ(0), = UCСВ(0) = UC(0–) – UCПР(0),

т. е. начальные значения свободных составляющих определяются изменениями в момент коммутации соответствующих принужденных функций.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы, различают цепи первого, второго и более высокого порядков. В цепях первого порядка накапливается энергия только одного вида (магнитная или электрическая), в цепях второго порядка накапливается оба вида энергии. Сложные, разветвленные цепи – цепи более высокого порядка.

ПереходныепроцессывRL-цепи.

Если цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивления и индуктивности (рис. 18.2), подключается к источнику внешнего напряжения момент времени t = 0, тогда для t ≥ 0 справедливо уравнение

Ri + L dtdi = e(t ),

имеющее решение для тока в цепи

i(t) = iПР(t) + iСВ(t), iСВ(t) = Aept,

где р – корень характеристического уравнения R + Lp = 0, p = –R/L; A − постоянная интегрирования, iПР(t) определяется видом функции e(t).

t = 0 R

е(t)	i
е(t)	i	L

Рис. 18.2

Основы теории цепей. Конспект лекций

-157-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

ВключениевRL-цепьпостоянногонапряжения.

При включении постоянной ЭДС функция внешнего воздействия

0	t < 0
e(t )=	t > 0
E	t > 0

имеет вид рис. 18.3. Принужденную составляющую рассчитаем, предположив, что в цепи установился постоянный ток, тогда

i(t )=	E	+ A ept , где	E	= i	(t ).

	R		R	пр

Найдем постоянную интегрирования А. Если iL(0–) = 0, i(0) + iL(0–) = 0 = = iПР(0) + iСВ(0) = (Е/R) + A, A = –E/R.

U, i

е(t)

iпр

Е/R

iсв

–Е/R

Рис. 18.3

Рис. 18.4

Таким образом, i(t )= ER (1−e−RL t ).

Напряжение на сопротивлении UR (t )= Ri = E (1−e−RL t ).

Напряжение на индуктивности UL (t )= L dtdi = Ee−RL t .

Очевидно, что UR(0) = 0, а UL(0) = E, так как при t = 0 ток еще не течет и действие внешнего источника компенсируется ЭДС самоиндукции

e	= −L di ,	e	(0)= E .
L	dt	L
	dt

Свободный ток в начальный момент имеет максимальное по абсолютной величине значение, а затем непрерывно уменьшается (рис. 18.4).

Основы теории цепей. Конспект лекций

-158-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Включение в RL-цепь постоянного напряжения

Чтобы оценить скорость нарастания тока в цепи, вычислим производную di/dt при t = 0. Дифференцируя выражение для полного тока по t, получим

e−

t , откуда

di (0)=

E R

R L

R τL

где τL = L/R – постоянная времениRL-цепи.

Размерность постоянной времени [L/R] = [Гн/Ом] = [Ом С/Ом] = [С], ([Гн] = [U/i/t] = [В/А/С]).

Очевидно, что чем меньше τ, тем быстрее возрастает ток в цепи

(рис. 18.5).

За время t = τL переходный ток возрастает до величины i(τL) = I(1 – e–1) ≈

≈ 0,623I, где I = E/R, свободный ток падает от начального значения в е раз: iCB(τL) = Ie–1 ≈ 0,368I, где е = 2,718.

	i(t)
Е
R	τ1	τ2	> τ1
	τ1

			t
	0

Рис. 18.5

Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается через t = (4 – 5) τL, при t = 5 τL ток в цепи достигает более 0,99 от установившегося значения.

Для нахождения отклика цепи на сигнал П-образной формы представим прямоугольный импульс на входе в виде двух одинаковых скачков напряжений, смещенных во времени на величину τи (рис. 18.6) и найдем отклик как алгебраическую сумму откликов на каждый из скачков в отдельности. Тогда для напряжений на элементах будем иметь графики, представленные на рис. 18.7.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-159-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Включение в RL-цепь постоянного напряжения

i(t)

τи

е(t)

τи

Рис. 18.6

Рис. 18.7

КороткоезамыканиеRL-цепи.

Предположим, что в цепи (рис. 18.8), работающей в установившемся режиме от источника ЭДС е(t), замыкается ключ. К моменту коммутации в индуктивности протекал ток i(0–) и в магнитном поле катушки запасена энергия WL. Очевидно, что в таком случае в цепи будет только свободный процесс, обусловленный возникновением ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению магнитного поля, т. е. ток, протекающий после коммутации, i(t) = iCB(t). Вынуждающей причины нет, и нет принужденного тока. Это пример режима цепи, в котором свободная составляющая тока является не формальной математической величиной, обусловленной методом решения дифференциального уравнения, а действительным, наблюдаемым переходным током.

Так как принужденная составляющая отсутствует, то

− t

i(t )= iСВ (t )= Ae τL .

Из условия i(0) = iCB(0) получаем А = iL(0–), а переходный ток

− t

i(t )= iL (0 −)e τL .

Напряжение на сопротивлении

− t

UR (t )= Ri(t )= R iL (0 −)e τL .

Основы теории цепей. Конспект лекций

-160-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Короткое замыкание RL-цепи

Напряжение на индуктивности

(t )= L di

(0 −)e−

= −R i

τL

Очевидно, что для t > 0

UR(t) + UL(t) = 0.

(рис. 18.9).

U, i

Ri(0–)

i(0–)

t = 0

е(t)

i(t)

τL

2τL

–Ri(0–)

Рис. 18.8

Рис. 18.9

За время переходного процесса начальная энергия, запасенная в индуктивности, будет расходоваться на тепловые потери в сопротивлении R. Величина этих потерь

∞

−)

W = ∫Ri2

(t )dt = i2 (0 −)∫e−2

τL

dt = − Ri2 (0 −)

e−2

τL

=WL.

ВключениевRL-цепьгармоническогонапряжения.

Если на вход RL-цепи включить гармоническую ЭДС e(t) = Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая тока будет представлять собой установившиеся колебания

iПР (t ) = Im cos(ωt + ψ −ϕ),

где Im =	Em	;
	\| Z \|

Z \|=	R	2	+(ωL)	2	,		ωL
Z \|=	R		+(ωL)		,	ϕ = arctg	.
							R

Постоянную интегрирования в этом случае находим из условия iL(0–) = = iПР(0) + iCB(0), 0 = Imcos(ψ – φ) + A,

Основы теории цепей. Конспект лекций

-161-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Включение в RL-цепь гармонического напряжения

A = –Imcos(ψ – φ).

Следовательно, полный ток в цепи при t ≥ 0 определяется выражением

i(t )= Im cos(ωt

Напряжение на сопротивлении

− t

+ ψ −ϕ)−cos(ψ −ϕ)e τL .

UR (t) = Ri(t )= RIm cos(ωt

− t

+ ψ −ϕ)−cos(ψ −ϕ)e τL .

Напряжение на индуктивности
di			−	t
di			−	τ
UL (t )= L dt		−ωLsin (ωt + ψ −ϕ)+ Rcos(ψ −ϕ)e		L
UL (t )= L dt	= Im	−ωLsin (ωt + ψ −ϕ)+ Rcos(ψ −ϕ)e			.

Из полученных выражений следует, что соотношения между принужденными и свободными составляющими токов и напряжений на R и L определяются начальной фазой генератора ψ и фазовой характеристикой цепи φ.

Если ψ – φ = π/2 (принужденная составляющая тока проходит через нуль в момент включения), то свободные составляющие i и U отсутствуют и в цепи сразу же после включения устанавливается стационарный режим

(рис. 18.10).

Максимально возможные величины принужденных и свободных составляющих тока и напряжений в цепи будут наблюдаться, если ψ = φ или ψ – φ = ±π (рис. 18.11). Если постоянная времени цепи велика (τL >> T, T – период колебаний) и, следовательно, свободная составляющая затухает медленно, то в первые полпериода процесса ток переходного режима может достигнуть значения почти удвоенной амплитуды установившегося тока

(рис. 18.12).

Основы теории цепей. Конспект лекций

-162-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Включение в RL-цепь гармонического напряжения

i(t), (UR)

i(t), (UR) iПР(t)

≈2Im

iСВ(t)

i(t) = iПР(t) + iСВ(t)

Рис. 18.10

Рис. 18.11

Определив отклик цепи на гармоническую ЭДС, можно найти отклик на радиоимпульс прямоугольной формы.

Прямоугольный импульс с немодулированным заполнением (рис. 18.12) определяется выражением

E			cos(ωt + ψ)	при	0 < t < τ		,
e(t )=		m	при	t < 0		и
	0		при	t < 0	и t > τи.

На интервале времени 0 ≤ t ≤ τи отклик цепи на такой сигнал может быть определен как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0. Очевидно, в цепи после окончания входного импульса будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений UR и UL, так как при t > τи внешнее воздействие e(t) = 0.

i(UR = Ri)

e(t)

i(τи) = I

τи

Рис. 18.12

Рис. 18.13

Если iL(τи) = I, то i(t )= i

−

(τ

−

τи

τL при t =

τL , откуда

(t )= Ae

τи i

)= I = Ae

СВ

τи

(t−τи)

A = Ie

, следовательно, для t > τи i(t )= Ie−

τL

и напряжения на элементах

Основы теории цепей. Конспект лекций

-163-

ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Включение в RL-цепь гармонического напряжения

UR (t )= Ri(t )= RIe−	(t - τи)		UL (t )= L di	= −RIe−	(t-τи)
	τL	,			τL	,
			dt

UR + UL = 0 при t > τи.

Таким образом, полный отклик RL-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, представленный на рис. 18.13.

Контрольныевопросы

1.Что формулируется в виде законов коммутации?

2.Что называется независимыми начальными условиями?

3.Что представляют собой принужденный и свободный режимы цепи?

4.Что характеризует постоянная времени RL-цепи?

Основы теории цепей. Конспект лекций

-164-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Включение в RC-цепь постоянного напряжения. Разряд емкости на сопротивление. Включение в RC-цепь гармонического напряжения.

Нестационарные явления, возникающие при заряде и разряде емкости, представляют большой практический интерес.

Предположим, что RC-цепь (рис. 19.1) в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения e(t). На основании второго закона Кирхгофа для t ≥ 0 уравнение цепи имеет вид e(t) = R i(t) + UC. Поскольку

i(t )= C	dUC	,	то	e(t )= RC	dUC	+UC .

	dt				dt

Характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда p = –1/RC и постоянная времени τC = RC [С]. [RC] = [Ом Ф] = [Ом К/В] = [Ом АС/В].

	−	t
	−	τC .
	Следовательно, UC =UCПР +UCСВ, UC (t) =UCПР + Ae	τC .

t = 0	R

e(t)			UC
e(t)		C	UC

	i(t)
	i(t)

Рис. 19.1

Как и в RL-цепи U(t) определяется видом подключаемого источника и величинами R и С.

ВключениевRC-цепьпостоянногонапряжения.

При подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения (рис. 18.2) величина принужденной составляющей напряжения на емкости должна быть равна внешнему напряжению Е, так как при t, стремящемуся к бесконечности, емкость заряжается до напряжения источника питания

(рис. 19.2).

Основы теории цепей. Конспект лекций

-165-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Включение в RC-цепь постоянного напряжения

Если запаса энергии в цепи до подключения внешнего источника не

было, то UC(0–) = UC(0) = UCПР + UCCB,

0 = Е + А,

А = –Е,

−

. Ток в цепи i(t )= C

−

UC (t )= E 1

−e

C .

−

Напряжение на сопротивлении UR (t )= Ri(t )= Ee

τC .

UCПР

U, i

E/R

				t
	0			t
	0

			UCСВ


–E
		Рис. 19.2

Если к моменту коммутации емкость была заряжена до напряжения

U(0), то при t = 0 имеем U(0) = E + A, откуда A = U(0) – E.

Следовательно,

UC (t )= E −[E −U (0)]e−	t		E −U (0)	e−	t
	τC	, ток i(t )=				.
					τC

			R

С течением времени напряжение на емкости стремится к установившемуся значению Е, а ток убывает, стремясь к нулю тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи.

На рис. 19.3 изображены кривые изменения U(t) и i(t) при Е > U(0), на рис. 19.4 – при E < U(0).

Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t → ∞ достигает величины

W	=	CE2	.
C max		2
		2

Основы теории цепей. Конспект лекций

-166-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Включение в RC-цепь постоянного напряжения

Одновременно часть энергии, отдаваемой внешним источником, расходуется в сопротивлении R. Причем энергия, рассеиваемая в сопротивлении, оказывается равна энергии, запасаемой в емкости.

U, i

U(0)

Е−U (0)

0 τC

Рис. 19.3

e(t)

Рис. 19.5

τи

U, i

U(0)

τC

U (0)

− E

Рис. 19.4

τC1

τC2 > τC1

τи

τC2

τC1

τи

Рис. 19.6

∞

−2

∞

E2e

= CE2

Действительно, WR = ∫Ri2dt =

∫e−2

dt = −

=WC max .

R RC

При подключении RC-цепи к генератору прямоугольных импульсов (рис. 19.5) напряжения на элементах могут быть найдены как алгебраические суммы откликов на положительный и отрицательный скачки напряжения на входе и графики их имеют вид, представленный на рис. 19.6.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-167-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Включение в RC-цепь постоянного напряжения

Из рис. 19.6 видно, что чем больше постоянная времени τС = RC, тем медленнее нарастает и спадает напряжение на конденсаторе.

Разрядемкостинасопротивление.

Пусть емкость предварительно заряжена до напряжения Е. В момент времени t = 0 она подключается к сопротивлению (рис. 19.7).

U, i

t = 0

UC (0) = E

−

–E

Рис. 19.7

Рис. 19.8

При подключении емкости к сопротивлению в цепи возникает переходный процесс, емкость разряжается и поскольку при t ≥ 0 внешнего воздействия не будет e(t) = 0, то UCПР = 0 и

					−		t
					−
UC (t )=UCСВ (t )= Ae							τC .
								−	t
При t = (0+) UCСВ(0) = Е = А,			откуда UC (t )= Ee						τC ,
i(t )= C	dU			E	−	t
	dU	C = −		E	−	τ
					e		C .
	dt			R	e		C .
	dt			R

Напряжение на сопротивлении

UR(t) = Ri(t) = –UC(t).

Графики изменения тока и напряжений на емкости и сопротивлении приведены на рис. 19.8.

Очевидно, что вся энергия, запасенная в емкости к моменту коммутации, рассеивается в сопротивлении за время t = (4 – 5) τС.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-168-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Разряд емкости на сопротивление

	∞			∞		t
W =	∫	Ri2dt =	E2	∫	e−2		dt = CE2	=W .
			E2			RC
			R			RC
R			R			2		C max
R								C max
	0			0

ВключениевRC-цепьгармоническогонапряжения.

Если на вход RC-цепи включить гармоническую ЭДС e(t) = Emcos(ωt + ψ), то принужденная составляющая напряжения на конденсаторе будет

								UCПР =Um cos(ωt + ψ −ϕ−						π) ,
														2
	E		1						2		1 2				1
	E		1						2		1 2				1
где Um =		m			,	Z	=	R		+		,	ϕ= arctg	−		,


		Z		ωC							ωC				ωCR

π/2-угол, на который напряжение на конденсаторе отстает от тока. Определив постоянную интегрирования из условия UC(0–) = UCПР(0) +

+ UCCB(0), получим

	ψ −ϕ−	π	+ A, A =Um sin (ϕ−ψ).
0 =Um cos	ψ −ϕ−		+ A, A =Um sin (ϕ−ψ).
		2

Следовательно, UC (t )=Um		ωt + ψ −ϕ−	π +sin (ϕ−ψ)e
Следовательно, UC (t )=Um	cos	ωt + ψ −ϕ−	π +sin (ϕ−ψ)e
			2

− t τC

Ток i(t )= C

sin (ϕ−ψ)e

−

= −CUm

ωsin

ωt + ψ −ϕ−

−

При t = (0+)

i(0 +)=

sin (ϕ−ψ)

sin

ψ −ϕ−

ωC

= ERm cosϕcos(φ−ψ)+sin ϕsin (ϕ−ψ) = ERm cosψ,

Em cosψ = e(0),

т. е. если емкость не имела заряда до включения ЭДС, то в момент коммутации она как бы замыкается накоротко и ток в начальный момент времени зависит от активного сопротивления и значения ЭДС при t = 0.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-169-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Включение в RC-цепь гармонического напряжения

Как и в RL-цепи характер переходного процесса в RC-цепи зависит от соотношения ψ и φ. При ψ = φ в цепи не возникает свободной составляющей напряжения на конденсаторе и сразу же после включения гармонической ЭДС устанавливается стационарный режим. Если ψ – φ = π/2, то в цепи возникает максимальная свободная составляющая напряжения на конденсаторе и при τC >> T (T – период принужденных колебаний) в момент времени t = T/2 наблюдается максимальное напряжение, почти в два раза превышающее амплитуду принужденных колебаний (рис. 19.9).

≈2Um

UC (t) = UСПР + UССВ

τи

U(τи)

UСПР

Рис. 19.9

Рис. 19.10

Отклик RC-цепи на радиоимпульс на интервале 0 < t < τи определяется как отклик на гармоническую ЭДС, включенную при t = 0.

После окончания импульса в цепи будут существовать только свободные составляющие тока и напряжений на элементах R и С, определяемые напряжением на конденсаторе в момент времени t = τи.

Если при t = τи UC(τи) = U, то при t > τи

−

UC = Ae

τC

−

τи

−t−τи

откуда UC (τи )=U = Ae

τC

и UC (t )=Ue

τC

i(t )= C

−

t−τ

Ток в цепи при t > τи

C = −

C .

Таким образом, отклик RC-цепи на радиоимпульс на входе имеет вид, показанный на рис. 19.10.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-170-

ЛЕКЦИЯ 19. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RC-ЦЕПИ

Контрольныевопросы

1.В каких единицах измеряется постоянная времени цепи?

2.Чем определяется скорость изменения напряжений на элементах цепи в переходном режиме?

3.От чего зависит время заряда емкости при подключении ее к источнику ЭДС через сопротивление?

4.При каких условиях в RC-цепи не возникает свободной составляющей напряжения на конденсаторе?

Основы теории цепей. Конспект лекций

-171-

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.03.201616.34 Кб102ОТИ практическая 2.docx
#
06.03.201612.81 Кб34ОТИ практическая 3.docx
#
06.03.201697.04 Кб25ОТИ практическая 4.docx
#
06.03.20161.42 Mб35ОТИ практическая 5.docx
#
12.08.2019143.26 Кб1Отсканировано 14.02.2012 15-37.rtf
#
17.03.20156.1 Mб1071ОТЦ лекции.pdf
#
17.03.2015958.14 Кб18Отчёт Бондарев 5 работа.docx
#
17.03.201522.24 Кб105Отчет по практике.docx
#
17.03.201561.95 Кб159Отчет по практике_образец.doc
#
09.11.2019152.26 Кб3Отчет по производственной практике-3.rtf
#
17.03.201584.18 Кб85отчёт работа 6.docx