ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Представление гармонических функций с помощью комплексных величин. Гармонический ток в элементах электрической цепи (гармонический ток в сопротивлении, индуктивности и емкости).

Представлениегармоническихфункций спомощьюкомплексныхвеличин.

При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цепи сводится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний. В связи с этим был разработан метод комплексных амплитуд, основанный на представлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, которые выражаются аналитически в комплексной форме. Метод удобно сочетает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.

Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд могут быть представлены как проекции вектора Um на комплексной плоскости

вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой ω (рис. 5.1) на оси координат.

u(t) = Umcos(ωt + ψ)

Рис. 5.1

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Представление гармонических функций с помощью комплексных величин

Проекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функцией

U(t) = Umcos(ωt + ψ),

а на мнимую ось – синусоидальной функцией

U(t) = Umsin(ωt + ψ).

Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах:

алгебраической Um = ReUm + j ImUm , где j = −1 ;

показательной Um =|Um | e jψ , где Um – модуль; ψ – аргумент;

тригонометрической Um =|Um | cosα + j |Um | sin α.

Модульвектора |Um |= (ReUm )2 +(ImUm )2 |Um |= (ReUm )2 +(ImUm )2 ,

аргумент α = arctg ImUm . ReUm

В случае гармонического колебания аргумент комплексного числа Um

является функцией времени α = ω· t + ψ.

Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражается в показательной форме

U (t ) = Um e jψe jωt ;

в тригонометрической форме

U (t ) = Um cos(ωt + ψ)+ j Um sin (ωt + ψ).

Кроме рассмотренного выше, возможен и несколько иной способ представления гармонических колебаний в виде двух вращающихся навстречу векторов (рис. 5.2).

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Представление гармонических функций с помощью комплексных величин

ные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

I

U

Рис. 5.3

Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токов в момент времени t = 0.

На рис. 5.3 приведено схематическое изображение цепи переменного

тока.

Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник, состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей.

Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением:

ZBX = UI .

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется его комплексной проводимостью

сдвиг фаз между напряжением и током.

Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах:

ZBX =| ZBX | e jϕ,

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Представление гармонических функций с помощью комплексных величин

ZBX = RBX + jXBX ,

где RВХ – вещественная активная составляющая;

XВХ – мнимая реактивная составляющая комплексного сопротивления;

Гармоническийтоквэлементахэлектрическойцепи.

Гармонический ток в сопротивлении. Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивление R, то на основании закона Ома

I = UR , I = Ime jψi = URm e jψU ,

т. е. амплитуда тока Im = URm , а разность фаз между током и напряжением

φ = ψU – ψi.

На векторной диаграмме (рис. 5.4) напряжение и ток совпадают по фазе; ZBX = RBX = R, XBX = 0, проводимость YBX =1/ R .

Im

ψU = ψi

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Гармонический ток в элементах электрической цепи

PR = ui =Um Im cos2 (ωt + ψ) =UI 1+ cos 2(ωt + ψ) ,

т. е. PR изменяется с удвоенной частотой (рис. 5.5).

0

Рис. 5.5

Среднее значение мощности за период

Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью. (U = U2m и I = Im2 – действующие значения напряжения и тока.)

Гармонический ток в индуктивности. Если пассивный двухполюс-

ник представляет собой индуктивность, то

UL = L dtdi .

Используя метод комплексных амплитуд, получим

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Гармонический ток в элементах электрической цепи

Отсюда следует, что амплитуда напряжения

ULm = ωLIm = XLIm,

где XL = ωL – индуктивное сопротивление, обратная величина bL = ω1L назы-

вается индуктивной проводимостью.

Угол сдвига фаз между напряжением и током, т. е. ϕ = ψU −ψi = π2 –

ток отстает по фазе от напряжения на π2 (рис. 5.6).

Im

π

2

ψU

ψi Re

0

Рис. 5.6

Очевидно, что входное сопротивление индуктивности – чисто мнимая величина

линейно изменяющаяся с частотой.

Пусть через индуктивность протекает ток i(t) = Imcos(ωt + ψ). Тогда напряжение на индуктивности

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Гармонический ток в элементах электрической цепи

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет равна:

PL = ui = −UmIm sin (ωt + ψ)cos(ωt + ψ) =

= −Um2Im 2sin (ωt + ψ)cos(ωt + ψ)= −UI sin 2(ωt + ψ).

0

Рис. 5.7

Энергия магнитного поля индуктивности

т. е. так же, как и мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой (рис. 5.7), происходит непрерывный обмен энергии между источником и индуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность, равна нулю.

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Гармонический ток в элементах электрической цепи

Гармонический ток в емкости. При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет ток

iC = C dUdt .

Используя метод комплексных амплитуд, получаем

Отсюда следует, что амплитуда тока в емкости

где bC = ωC – проводимость емкости, XC = ω1C – емкостное сопротивление.

Сдвиг фаз между напряжением и током ϕ= ψU −ψi = − π2 ,

т. е. ток опережает напряжение на π/2 (рис. 5.8).

Im

π

2

ψi ψU

Re

0

Рис. 5.8

Следует отметить, что входное сопротивление емкости является чисто мнимой отрицательной величиной

ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Гармонический ток в элементах электрической цепи

Как и в индуктивности, мгновенная мощность и энергия в емкости колеблются с удвоенной частотой, причем средняя мощность, поступающая в емкость, равна нулю.

Контрольныевопросы

1.В каких формах математически может быть представлен символический вектор на комплексной плоскости?

2.Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в сопротивлении?

3.Каковы фазовые соотношения между напряжением и током в индуктивности?

4.Каковыфазовыесоотношениямеждунапряжениемитокомвемкости?

ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Гармонический ток с последовательным соединением RLC. Гармонический ток с параллельным соединением RLC.

ГармоническийтокспоследовательнымсоединениемRLC.

Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю. Представляя мгновенные значения токов как вещественные части комплексных функций

i1 (t )= Re(Im1e jωt ), i2 (t )= Re(Im2e jωt ), ... , in (t )= Re(Imne jωt ),

Это выражение справедливо для любого момента времени, в том числе и для t = 0. Поэтому

n

∑Imk = 0 . k=0

Таким образом, сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю. Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах контура равна сумме ЭДС, действующих

в контуре.

Для электрической цепи (рис. 6.1)

e(t )= Ri + L dtdi + C1 ∫idt .

ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Гармонический ток с последовательным соединением RLC

Рис. 6.1

Пусть E = Eme jωt , тогда ток может быть представлен в виде I = Ime jωt , где Em и Im – комплексные амплитуды источника ЭДС и тока в контуре.

Тогда последнее уравнение может быть представлено в виде

Re(Eme jωt ) = R Re(Ime jωt )+ L dtd Re(Ime jωt )+ C1 ∫Re(Ime jωt )dt .

Заменив операции над действительными частями комплексных функций операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением действительных частей от полученного результата, имеем:

ет, что комплексная амплитуда ЭДС источника равна сумме комплексных амплитуд падений напряжения на элементах Em =URm +ULm +UCm .

Алгебраическое комплексное уравнение может быть представлено и в другой форме:

где Z – комплексное сопротивление цепи.

ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Гармонический ток с последовательным соединением RLC

Последнее уравнение представляет собой закон Ома для комплексных

амплитуд.

В общем случае второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно записать в виде

где Zk и Ik – комплексное сопротивление и комплексная амплитуда тока в k-й ветви, Ek – комплексная амплитуда ЭДС k-й ветви.

Построим векторную диаграмму напряжений для последовательной

RLC-цепи (рис. 6.2).

Изображенные на рис. 6.2 напряжения на элементах равны:

пи имеет индуктивный характер и ток в цепи отстает от входного напряжения на угол φ, зависящий от соотношения сопротивлений индуктивности, емкости и резистора (рис. 6.2, а).

пи имеет емкостный характер, и ток в цепи опережает входное напряжение

на угол φ (рис. 6.2, б).

ЛЕКЦИЯ 6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Гармонический ток с последовательным соединением RLC