ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирский государственный университет науки и технологий им. академика М.Ф. Решетнева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ОТЦ лекции.pdf

Скачиваний:

1071

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

6.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

Z11 (p)=1+

Лестничные RC-цепи. Лестничные LC-цепи. Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников.

За основу для синтеза принята передаточная функция по напряжению

K	(p)=	U2		=	Z12 (p)	.


12XX		U1			Z11 (p)
			I2 =0

Следует отметить, что реализация получается только с точностью до постоянного множителя.

Структура цепи представлена на рис. 41.1.

U1		U2

Рис. 41.1

Для лестничных цепей характерны два вида нулей передачи – это частоты, при которых:

1)функция полного сопротивления последовательной ветви равна ∞ (ХХ − сигнал на выход не проходит);

2)функция полного сопротивления параллельной ветви равна 0 (КЗ − сигнал шунтируется на общую шину).

ЛестничныеRC-цепи.

Поскольку нули и полюсы входной функции RC-двухполюсника лежат на отрицательной вещественной оси, то нули передаточной функции K12XX(p) могут также лежать только на вещественной отрицательной оси.

Если каждая ветвь лестничной схемы содержит один элемент (R или C), то нуль передачи может быть только в двух случаях: Р = 0 и Р = ∞, поскольку конденсатор, включенный последовательно, порождает нуль при Р = 0, а включенный параллельно порождает нуль при Р = ∞.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-422-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

Первая схема Кауэра (рис. 41.2), реализующая входные RC-функции, порождает нули передачи при Р = ∞.

U1		U2

Рис. 41.2

Рис. 41.3

Вторая схема Кауэра (рис. 41.3) содержит последовательно включен-

ные конденсаторы и потому порождает нули передачи при Р = 0.

(p)

(p)=

Z12

(p)

положим

(p)=

n11

(p)

(p)=

n12

, тогда

(p)

12XX

(p)

(p)=

n12 (p) d11 (p)

12XX

d12 (p) n11

(p)

Ранее было показано, что условие пассивности четырехполюсника заключается в том, что Z12(p) не может иметь полюса, который не имелся бы у Z11(p) и Z22(p), т. е. d11(p) содержит все сомножители, имеющиеся у d12(p). (Это следует и из условия для вычетов k11k22 − k122 ≥ 0 .)

В этой связи полюсы Z12XX(p) − вещественные отрицательные простые. Передаточная функция лестничных RC-схем имеет вид

K	(p)=	kpm	=	kpm	,
				B(p)
12XX		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0

где 0 ≤ m ≤ n; B(p) − полином с вещественными отрицательными простыми корнями.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-423-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

При p → 0,

если m ≠ 0,

lim K

(p) lim

, т. е. K12XX(p)

p→0

12XX

p→0

приближается к нулю со скоростью pm.

(p)

(

kp(m−n)

)

При p → ∞

и m ≠ n lim K

lim

, т. е. K12XX(p) при-

p→∞ 12 XX

p→∞

ближается к нулю со скоростью

p(n−m)

Следовательно, K12XX(p) имеет m нулей передачи при p → 0 и (n – m) нулей передачи при p → ∞.

Реализация передаточной функции предполагает, что параметры мат-

рицы сопротивлений	Z11(p) и Z22(p)					имеют		одинаковые	знаменатели
d11(p) = d12(p).			n12	(p)
Таким образом,	K	(p)=			,	n	(p)	= B(p), a n		(p)= kpm .
			n	(p)
	12XX					11		12
		11

Возможны три случая:

1)m = 0, все нули передачи при p = ∞;

2)m = n, все нули передачи при p = 0;

3)0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞.

Случай 1. m = 0, K12XX (p)= pn +bn−1 pn−1 k+…+b1 p +b0 , нули передачи при p = ∞.

Реализация K12XX(p) достигается путем реализации выбранной Z11(p) первой формой Кауэра, т. е. разложением Z11(p) в непрерывную дробь при p = ∞.

Пример 1. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12XX	(p)=	k	.
K12XX	(p)=	(p +3)(p +5)	.
		(p +3)(p +5)
	Решение. K12XX (p)=			Z	(p)		k
				12		=		.
				Z	(p)	=	p2 +8 p +15	.
				11

Можно выбрать разные Z11(p) при условии, что нули ее при p = –3 и p = –5 и чтобы Z11(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления.

Примем Z (p)=	(p +3)(p +5)	=	p2 +8 p +15	,
	(p +1)(p + 4)		p2 +5 p + 4
11

Основы теории цепей. Конспект лекций

-424-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

отсюда Z12 (p)= (p +1)(k p + 4).

Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра

Z11	(p)=1	+			1			.
Z11	(p)=1	+	1 p +			1		.
			1 p +	9		1
			3	9	+	1
				4	+	2	1
						3 p +
						3 p +	1
							2

Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.4.

	1 Ом

				9	Ом
				9	Ом
		1		4
						2
			Ф				Ф	1
										U2
U1									Ом
U1
		3				3		2

Рис. 41.4

Очевидно, что при p = ∞ K12XX(p) = 0, следовательно, схема реализует заданные K12XX(p) и Z12(p).

Случай 2. m = n,

K	(p)=	kpn	=	kpn	,
				B(p)
12XX		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0

все нули передачи при p = 0.

Реализация цепи по второй форме Кауэра приводит к схеме, представленный на рис. 41.3.

Пример 2. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12XX =	kp2		kp2
		=		.
	(p + 2)(p + 4)		p2 + 6 p +8

Основы теории цепей. Конспект лекций

-425-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

Решение.

Примем

Z11

(p)

= (p + 2)(p + 4)

p2 + 6 p +8

, отсюда

p2 + 4 p +3

(p +1)(p +3)

Z12

(p)=

kp2

(p +1)(p +3)

Реализуем лестничную цепь по второй схеме Кауэра

(p)=

= 3 +

Z11

(p)

7 p + 49

22 44

21p

Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.5.

968

Ом

3 Ом

Рис. 41.5

Случай 3. 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞.

K	(p)=	kpm	=	kpm	.

12XX		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0		B(p)

В этом случае входная функция RC-цепи Z11(p) подвергается частичному разложению в непрерывную дробь при p = 0, а затем при p = ∞. Начать можно с разложения любой формы. Первое разложение прекращается, когда получены требуемые нули передачи.

Пример 3. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

Основы теории цепей. Конспект лекций

-426-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

K12XX =		kp
			.
	(p + 2)(p +5)
Решение. Примем Z (p)=		(p + 2)(p +5)		=
11		(p +1)(p + 4)

p2 + 7 p +10		, отсюда
p2	+5 p + 4

Z12 (p)=	kp	.
	(p +1)(p + 4)

Прежде всего разложим Z11(p) при p = ∞ (первая форма Кауэра)

p2 + 7 p +10 p2 +5 p + 4

−(p2 +5 p + 4) 1

p2 +5 p + 4				2p + 6

−(p2 +3p)				12 p .

2p + 4

Поскольку при p = ∞ имеется один нуль передачи, то, выделив первый

шунтирующий конденсатор 12 p , закончим разложение Z11(p) в цепную дробь, получив цепь (рис. 41.6).

1 Ом

Рис. 41.6

Основы теории цепей. Конспект лекций

-427-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

19 Ф

3	Ом
		3 Ом
2

Рис. 41.7

Оставшаяся часть полной проводимости раскладывается во вторую форму Кауэра (рис. 41.7)

	2			1
′	(p)= 3
′		+ 9			1 .
Y		+ 9		+	1 .
			p	+	1
					3

И окончательно получим цепь (рис. 41.8).

Следует останавливать первый процесс, как только будет выделено требуемое число конденсаторов.

Еще одна реализация K12XX(p) достигается путем разложения Z11(p) при p = 0. Разложение прекращается, как только выделяется последовательный конденсатор (рис. 41.9).

	1		=	(p +1)(p + 4)
					.
Z		(p)		(p + 2)(p +5)	.
11

p2 + 47 p

Далее разложение оставшейся функции Z′(p)= 11 осуществ- 53 p2 +115 p

ляется при p = ∞ (рис. 41.10)

	5	1
′	(p)= 3
′		+ 99			1 .
Z		+ 99		p +	1 .
			100	p +	100
					33 11

Основы теории цепей. Конспект лекций

-428-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные RC-цепи

							1	Ф
							9
			2				9
			2

1Ом
	1
		Ф			3	Ом
					3			3 Ом
	2				2			3 Ом
	2				2
			Рис. 41.8

				11		Ф
				50

			5
			5										Z′	(	p	)
			2 Ом										Z′		p

							Рис. 41.9
							Рис. 41.9

		5
		5
		3 Ом
															100
						99	Ф								100		Ом
														33 11
					100									33 11

							Рис. 41.10

			11	Ф
			50

								5	Ом
								5
5
5	Ом							3			99	Ф						100	Ом
2	Ом									100		Ф						33 11	Ом

Рис. 41.11

И окончательно получим цепь, представленную на рис. 41.11.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-429-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

ЛестничныеLC-цепи.

Все нули и полюсы передаточных функций лестничных цепей лежат на мнимой оси

K	(p)=	kpm	=	kpm	,
K	(p)=		=	B(p)	,
12XX		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0
		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0
где m и n – четные.

Корни полинома B(p) простые лежат на мнимой оси 0 ≤ m ≤ n. Как и в RC-цепи возможны три случая:

1)m = 0, все нули передачи при p = ∞;

2)m = n, все нули передачи при p = 0;

3)0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞.

Случай 1. m = 0,

K12XX (p)= pn +bn−1 pn−1 k+…+b1 p +b0 ,

нули передачи при p = ∞.

Реализация K12XX(p) достигается путем осуществления выбранной Z11(p) первой формой Кауэра, т. е. разложением Z11(p) в непрерывную дробь при p = ∞.

Пример 1. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12XX (p)= (p2 + 4)(k p2 +9).

Решение. K	(p)=	Z12	(p)	=	k	=	k		.
		Z11	(p)		(p2 + 4)(p2 +9)		p4 +13 p2	+36
12XX

Можно выбрать разные Z11(p) при условии, что нули ее при p1,2 = ±j2 и p3,4 = ±j3 и чтобы Z11(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции

полного сопротивления.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-430-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные LC-цепи

Примем

(p)=

(p2 + 4)(p2

+9)

p4 +13p2 +36

отсюда

p(p2 + 6)

p3 + 6 p

Z12

(p)=

p(p2

+ 6)

Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра

Z11 (p)

=1p +

1 p +

p +

Соответствующая схема Кауэра представлена на рис. 41.12.

			49			Гн
1 Гн			6			Гн
1 Гн			6


	1	Ф			1		Ф
	7	Ф		42			Ф
	7			42

Рис. 41.12

Случай 2. m = n,

K	(p)=	kpn	=	kpn	,
				B(p)
12XX		pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0

все нули передачи при p = 0.

Пример 2. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12XX (p)= ( 2 + kp)(4 2 + ).

p 4 p 9

Решение. Реализуем лестничную цепь по второй схеме Кауэра.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-431-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные LC-цепи

Примем

(p)=

(p2

+ 4)(p2

+9)

p4 +

13p2 +36

отсюда

p(p2 + 6)

p3 + 6 p

( p) =

p( p2 + 6)

Реализация цепи по второй форме Кауэра приводит к схеме (рис. 41.13)

(p)=

7 p

Случай 3. 0 < m < n, m нулей передачи при p = 0, n – m нулей передачи при p = ∞.

(p)=

kpm

12XX

pn +bn−1 pn−1 +…+b1 p +b0 B(p)

1 Ф

Гн

7 Гн

Рис. 41.13

Пример 3. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12XX (p)= ( 2 + kp)(2 2 + ).

p 4 p 9

Решение. Передаточная функция имеет два нуля при p = 0 и два нуля при p = ∞. Для выделения нулей при p = ∞ используем первую форму Кауэра.

Примем Z	(p)=	(p2	+ 4)(p2 +9)	=	p4	+13p2 +36	, тогда Z	(p)=	kp2	.
Примем Z	(p)=		p(p2 + 6)	=			, тогда Z	(p)=	p(p2 + 6)	.
11						p3 + 6 p	12
						p3 + 6 p

Основы теории цепей. Конспект лекций

-432-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные LC-цепи

			1			6 p
Z11	(p)=1p +				, Y′(p)=	7		.
		1	′			7 p2 +	36
				(p)
		7 p +Y

Частичная реализация цепи по первой форме Кауэра приводит к схеме, показанной на рис. 41.14.

Для реализации нулей при p = 0 используем лестничную цепь по второй схеме Кауэра

Z′(p)= Y′(1p).

Сопротивлению Z΄(p) соответствует схема, приведенная на рис. 41.15.

1 Гн

1
1	Ф	Y ′(p)
7	Ф
7

Рис. 41.14 421 Ф

					49	Гн
					6
				Рис. 41.15
И окончательно имеем результирующую цепь как каскадное соедине-
ние двух схем Кауэра (рис. 41.16).

								1	Ф
	1 Гн						42		Ф
	1 Гн						42

		1
		1	Ф						49	Гн
		7	Ф						6	Гн

				Рис. 41.16

Основы теории цепей. Конспект лекций

-433-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Лестничные LC-цепи

Возможен второй вариант реализации заданной передаточной функции. Выделим сначала нули при p = 0

Z	(p)=	6	+		1	,
Z	(p)=		+			,
11		p		6	+Y′(p)
				6
				7 p
				7 p

1 p3

Y′(p)= 7 p72 + p4 .

Реализуем Z′(p)= Y′(1p), выделяя нули при p = ∞,

Z′(p)= 7 p + 1p .

Таким образом, имеем результирующую цепь как каскадное соединение двух схем Кауэра (рис. 41.17).

1	Ф
6		7 Гн

			1
7	Гн			Ф
6		49

Рис. 41.17

Другиевозможностилестничнойреализациичетырехполюсников.

Ранее было показано, что K	(p)=	Z12	(p)	= −	Y12 (p)	.

12XX		Z11	(p)	Y22 (p)

Следовательно, реализацию заданной передаточной функции можно проводить по Y22(p), т. е. синтез аналогичен рассмотренному выше, но начинается со стороны выходных зажимов.

Основы теории цепей. Конспект лекций

-434-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников

Пример 4. Синтезировать четырехполюсник с передаточной функцией

K12 XX (p)= (p2 + 4)(k p2 +9).

Решение. K12XX (p)= −YY12((pp)) = (p2 + 4)(k p2 +9)= p4 +13kp2 +36 .

Можно выбрать разные Y22(p) при условии, что нули ее при p1,2 = ±j2 и p3,4 = ±j3 и чтобы Y12(p) удовлетворяла всем свойствам входной функции

полного сопротивления.

Примем Y	(p)=	(p2	+ 4)(p2 +9)	, тогда Y	(p)=	−k	.
			p(p2 + 6)			p(p2 + 6)
22				12

	1	Гн	1	Гн
42			7

U1	6			U2
U1	6	Ф	1 Ф	U2
	7

Y22(р)

Рис. 41.18

Основы теории цепей. Конспект лекций

-435-

ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ

Другие возможности лестничной реализации четырехполюсников

Реализуем лестничную цепь по первой схеме Кауэра (рис. 41.18)

Y22	(p)=1p +		1				.
Y22	(p)=1p +	1 p +		1			.
		1 p +	49		1
		7	49	p +	1
			6	p +	1	p
					42	p

Контрольныевопросы

1.Реализация в виде какой лестничной цепи возможна, если нули пе-

редаточной функции K12XX(p) лежат только на вещественной отрицательной оси?

2.При каких условиях используется первая схема Кауэра для реализации лестничных RC-цепей?

3.При каких условиях используется вторая схема Кауэра для реализации лестничных RC-цепей?

4.При каких условиях используется реализация лестничных LC-цепей?

Основы теории цепей. Конспект лекций

-436-

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3233 / 3533 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.03.201616.34 Кб102ОТИ практическая 2.docx
#
06.03.201612.81 Кб34ОТИ практическая 3.docx
#
06.03.201697.04 Кб25ОТИ практическая 4.docx
#
06.03.20161.42 Mб35ОТИ практическая 5.docx
#
12.08.2019143.26 Кб1Отсканировано 14.02.2012 15-37.rtf
#
17.03.20156.1 Mб1071ОТЦ лекции.pdf
#
17.03.2015958.14 Кб18Отчёт Бондарев 5 работа.docx
#
17.03.201522.24 Кб105Отчет по практике.docx
#
17.03.201561.95 Кб159Отчет по практике_образец.doc
#
09.11.2019152.26 Кб3Отчет по производственной практике-3.rtf
#
17.03.201584.18 Кб85отчёт работа 6.docx