- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
- •ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
- •ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ
- •ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
- •ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
- •ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
- •ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC
- •ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
- •ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ
- •ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M
- •ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ
- •ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
- •ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
- •ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ
- •ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Свойства передаточных функций четырехполюсников. Свойства Z-параметров четырехполюсников. Нули передачи и свойства K12XX. Условия Фиалкова − Герста. Синтез передаточных функций четырехполюсников.
Свойствапередаточныхфункцийчетырехполюсников.
Определение передаточных функций четырехполюсников
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2′ |
|
|
||
|
|
ZГ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
ZН |
|||
|
|
|
|
|
U1 |
|||||||
UГ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 40.1
UГ =U1 + I1 ZГ, U2 = −I2′ ZH .
Передаточная функция по напряжению (рис. 40.1)
|
|
K |
= |
U2 |
|
|
= |
−I2′ ZH |
= |
|
|
|
−I2′ ZH |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
UГ |
|
|
U1 + I1 ZГ |
|
|
|
Z11I1 + Z12I2′ + I1ZГ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
U1 = Z11I1 + Z12I2′ |
, |
|
− I2′ |
ZH = Z21I1 |
+ Z22I2′, |
|
I2′ |
|
|
|
−Z |
I |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= Z21I1 |
+ Z22I2′, |
|
|
= |
|
|
|
21 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZH + Z22 |
|||||||||||||||
|
K |
= |
U2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZHZ21I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
12 |
UГ |
|
|
(Z |
|
|
+ Z |
|
|
) |
Z I |
|
+ Z |
|
−Z21I1 |
+ I |
|
Z |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H |
22 |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 1 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZH + Z22 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZHZ21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Z Z |
|
− Z Z |
|
+ Z |
H |
Z |
Г |
+ Z |
22 |
Z |
Г |
+ Z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 22 |
|
|
|
21 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H 11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= Z Z + Z Z |
|
+ Z Z + Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZHZ21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H Г |
|
|
|
22 Г |
|
|
|
|
H |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-410- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Свойства передаточных функций четырехполюсников
Для |
|
более простых |
|
случаев (если |
четырехполюсник обратимый |
||||||||||||||
Z21 = Z12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U22XX |
|
|
Z12 (p) |
|
−Y12 (p) |
|
|||
1. Z |
Г |
= 0, Z |
H |
→ ∞, |
K |
|
|
(p)= |
= |
|
= |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
12XX |
|
|
U1 |
|
|
Z11 (p) Y22 (p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. При ZГ = 0, |
K12 (p)= |
|
Z12 (p) ZH (p) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
Z11 |
(p) ZH (p)+ |
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. При ZГ = 0 и ZH = 0 передаточной функцией является
I2′ ((p)) = −Y12 (p).
U1 p
4. Учитывая связь |Z|- и |Y|-параметров, получим
Y12 (p)= Y12((p))+YH ((p)) − передаточная проводимость.
Y22 p YH p
5. При YГ = 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
(p)= |
U2 (p) |
= |
Z12 (p) ZH (p) |
− передаточное сопротивление. |
|
Z |
||||||
|
|
|
|
||||
12 |
|
I1 (p) |
|
Z22 (p)+ ZH (p) |
|||
|
|
|
|
|
При сопротивлении нагрузки R = 1 Oм
|
|
(p)= |
Z12 (p) |
|
; |
|
|
(p)= |
Y12 (p) |
. |
|
Z |
Y |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
12 |
|
Z22 (p)+1 |
12 |
|
Y22 (p)+1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
СвойстваZ-параметровчетырехполюсников.
Для четырехполюсника (рис. 40.2) справедливы выражения:
U |
|
= Z I |
+ Z I′ |
, |
U = a1U1 |
+ a2U2 , |
I1 = a1I, |
I2′ = a2I. |
|
|
1 |
11 1 |
12 2 |
|
, |
||||
U2 = Z21I1 + Z22I2′ |
|
|
|
|
U = a1Z11I1 + a1Z12I2′ + a2Z21I1 + a2Z22I2′.
При Z21 = Z12 , U = a12Z11I + 2a1a2Z12I + a22Z22I .
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-411- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Свойства Z-параметров четырехполюсников
Z (p)= UI = a12Z11 + 2a1a2Z12 + a22Z22 − квадратичная форма.
Z(p) – положительная вещественная функция (Z(p) ≥ 0) при Re P ≥ 0.
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2′ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 : a2 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a1 : 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
U |
|
|
|
|
|
Рис. 40.2
Поскольку Z11(p) и Z22(p) – входные функции цепи, то они не имеют полюсов в правой полуплоскости и вычеты на оси jω должны быть простыми. Следовательно, Z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости.
Пусть k11, k12 и k22 – вычеты функций Z11(p), Z12(p) и Z22(p) в полюсе jω. Известно, что вычеты Z11(p) и Z22(p) в полюсах на мнимой оси вещественные
и положительные, тогда вычет функции Z(p) в этом полюсе также k > 0.
k = a12k11 + 2a1a2k12 + a22k22 > 0 .
Отсюда очевидно, что при k11 ≥ 0, k22 ≥ 0 k12 – вещественная величина. Из анализа квадратичной формы получается условие вычетов
k11k22 − k122 ≥ 0 .
Аналогично для вещественных составляющих Z(p)
Re Z ( jω) = a12r11 + 2a1a2r12 + a22r22 ≥ 0 .
При r > 0 |
r > 0 |
r r |
− r2 |
≥ 0 (Re P ≥ 0). |
11 |
22 |
11 22 |
12 |
|
Таким образом, на вещественную составляющую r12 накладывается ограничение, если Z(p) – положительная вещественная функция.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-412- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
НулипередачиисвойстваK12XX.
K |
(p)= |
U22XX |
= |
Z12 |
(p) |
. |
|
|
|
||||
12XX |
|
U1 |
|
Z11 |
(p) |
|
|
|
|
1.K12XX − рациональная функция с вещественными коэффициентами.
2.Нулями передачи являются те нули Z12(p), которые не являются ну-
лями Z11 (p). Полюсы Z11 (p) (частные, которых нет у Z12(p) являются нулями K12XX. Так как расположение нулей Z12(p) не ограничено левой полуплоско-
стью, то K12XX может иметь нули любой кратности по всей плоскости комплексного переменного Р. (Z12(p) не является функцией двухполюсника, по-
этому на расположение ее нулей не накладывается ограничений.)
3.Полюсы K12XX могут быть только в левой полуплоскости, так как они являются нулями Z11(p), или на оси jω (Z12(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости).
4.Вычет K12XX в полюсе на оси jω является мнимым.
Действительно, при Z11(jω) = 0, r11 = 0 и если r22 ≠ ∞, то из условия вещественных составляющих получаем r12 = 0 и следовательно, Z12(jω) − чисто
мнимая величина.
|
|
|
K12XX |
(p)= |
|
Z12 (p) |
= |
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
|
(Z11′ ( jω)≠ 0). |
||||||||||
|
|
|
|
Z11 (p) |
(p2 |
+ ω12 )Z11′ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
= Z |
2k p |
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Разложим |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+ ω1 )Z11′ |
|
|
|
|
|
|
|
+ ω1 |
|
|
Z11 |
|
|
|
|
||||||||||
Вычет K12XX при p = jω1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(p − jω ) |
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
p2 |
+ ω2 |
Z′ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
p= jω |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2k p |
|
|
|
|
|
A(p − jω ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (Z12k1 )p= jω . |
|||||||||||||||
|
|
|
= Z12 |
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
p + jω1 |
|
|
|
|
|
|
Z11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p= jω |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Поскольку Z12(jω) − чисто мнимая величина, то вычет K12XX − чисто мнимая величина.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-413- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Нули передачи и свойства K12XX
5. K12XX не имеет полюса при Р = 0 и Р = ∞. Действительно, если Z11(0) = 0, а Z12(0) ≠ 0, то Z12(0) должна быть постоянной. Однако, если Z12(0) постоянная величина, то при r11 = 0 нарушается условие для вещественных
составляющих ( r11r22 − r122 ≥ 0 ).
УсловияФиалкова−Герста.
Неуравновешенный четырехполюсник (рис. 40.3) может быть заменен схемой замещения (рис. 40.4).
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
– Z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z11 |
– Z12 |
|
|
I2′ |
|||||||||
|
|
|
I2′ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
U1 |
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 40.3 |
Рис. 40.4 |
Если (Z11 – Z12), (Z22 – Z12) и Z12 − положительные вещественные функции, то в полиномах их описывающих не могут появляться знаки «минус».
Тогда
Z12 (p)= am pm + am−1 pm(−1 +)…+ a1 p + a0 , q p
Z11 (p)= bn pn +bn−1 pn−(1 +)…+b1 p +b0 ,
q p
Z22 (p)= ck pk + ck−1 pk−(1 +)…+ c1 p + c0 ,
q p
все Z − параметры имеют одни и те же полюсы. И так как (Z11 – Z12),
(Z22 – Z12) и Z12 не могут содержать отрицательных членов, то ai ≥ 0; bi ≥ai; ci ≥ai − условия Фиалкова − Герста. m ≤ n или m ≤ k в зависимости от того,
что меньше n или k.
Поскольку K12XX (p)= ZZ1211 ((pp)) , то все коэффициенты не отрицательны,
коэффициенты при соответствующих степенях Р в числителе меньше (или по крайней мере, равны) соответствующим коэффициентам знаменателя.
Следует отметить, что на вещественной оси выполняется соотношение
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-414- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Условия Фиалкова − Герста
0 < K12XX(σ) ≤ 1.
Для уравновешенной цепи (рис. 40.5)
K |
= |
U |
|
′ (p) |
= |
U |
|
′ (p)−U ′ ′ (p) |
, |
||||||||||||||
|
22 |
|
|
|
|
|
21 |
|
2 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
12XX |
|
U |
|
′ (p) |
|
|
|
|
|
U ′ |
(p) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
′ (p) |
|
U ′ ′ (p) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
K |
|
|
= |
|
|
21 |
|
|
|
− |
2 1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
U |
|
′ (p) |
U ′ |
(p) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
12XX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 40.5
Для уравновешенного четырехполюсника числитель K12XX может иметь отрицательные коэффициенты. Условия Фиалкова − Герста в этом случае bi ≥ |ai|; ci ≥ |ai| и –1 ≤ K12XX (σ) ≤ 1.
Синтезпередаточныхфункцийчетырехполюсников.
Разница между синтезом только по входной функции (синтезом двухполюсников) и синтезом по передаточной функции состоит в том, что в первом случае задана только одна функция (входная); во втором случае входную функцию (например, Z11(p) реализуют с учетом ограничивающих условий, определяемых передаточной функцией (скажем Z12(p)).
Симметричная ненагруженная скрещенная цепь. Мостовой четы-
рехполюсник (рис. 40.6)
U |
1 |
= Z I |
+ Z I′ |
, |
Z |
Z |
|
1 |
(Zb + Za ) |
|
|
11 1 |
12 2 |
|
11 |
12 |
|
= |
2 |
|
|
U2 = Z21I1 + Z22I2′, |
Z21 |
Z22 |
|
1 |
(Zb − Za ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 (Zb − Za )
2 . 12 (Zb + Za )
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-415- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za |
||
|
|
|
|
Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
I2′ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
Zb |
||||
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
U1 |
|
|
|
||||||||||||
|
U2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Za
Рис. 40.6
Теорема. Если существует реализация в виде симметричной четырехполюсной цепи, то для нее всегда можно использовать симметричную скрещенную цепь (мостовой четырехполюсник).
Иными словами, если заданы Z11, Z12 и Z11 = Z22, удовлетворяющие условиям реализуемости, то всегда существует реализация в виде мостового четырехполюсника.
Из матрицы [Z]
Za = Z11 – Z12 = Z22 – Z12,
Zb = Z11 + Z12 = Z22 + Z12.
Так как Z(p) − входная функция, положительная вещественная функция, то для вещественных составляющих rik = ReZik(jω) справедливо соотно-
шение r11r22 − r122 ≥ 0 при Rep ≥ 0.
Если r11 = r22, то r112 − r122 ≥ 0 , (r11 – r12)(r11 – r12) ≥ 0 или (ReZa)(ReZb) ≥ 0 при Rep ≥ 0.
Так как r11 > 0, то последнее выражение можно удовлетворить лишь одним образом, ReZa ≥ 0 и ReZb ≥ 0 при Rep ≥ 0. Это означает, что Za и Zb − положительные вещественные функции.
Отсюда следует, что симметричная цепь всегда может быть скрещенной цепью (мостовой).
Пример 1. Пусть имеем
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-416- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
|
|
|
|
|
Z |
|
= |
3p4 +9 p3 |
+ 7 p2 +5 p + 2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
2 p |
p2 |
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 (2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
= |
|
p4 + p3 |
+ p2 −3p − 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
2 p |
p2 |
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 (2 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
= Z |
− Z = |
|
2 p4 +8 p3 + 6 p2 +8 p + 4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
2 p |
( |
|
p2 +1 |
|
(2 p + |
1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
p2 (p2 +1)+ 4 p(p2 +1)+ 2(p2 +1) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
( |
p2 + |
1 |
|
(2 p + |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 + 4 p + 2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p(2 p +1) |
|
2 p +1 |
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Z |
|
= Z |
|
+ Z |
|
|
= |
|
4 p4 +10 p3 +8 p2 + 2 p |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
2 p |
( |
p2 +1 |
(2 p +1) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
2 p(2 p3 + p2 + 4 p2 + 2 p + 2 p +1) |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
( |
p2 +1 |
|
(2 p +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
p2 |
(2 p +1)+ 2 p(2 p +1)+(2 p +1) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
p2 +1 |
|
(2 p +1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
p2 + 2 p +1 |
= |
1+ |
|
2 p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
p |
2 |
+1 |
|
|
( |
p |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
Реализуем Za и Zb.
1. Za имеет полюс при р = 0, который выделяется последовательно включенной емкостью C0.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-417- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
|
′ |
′′ |
; |
′′ |
= |
2 |
; |
1 |
= lim |
pZ |
′′ |
= 2; C0 = |
1 |
Ф. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Za = Za + Za |
Za |
p |
|
C0 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Za′ = |
p |
|
при |
p → 0 |
Za′ |
→ 0 |
при |
p →∞ |
Za′ → |
1 |
, |
||||||||
2 p +1 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. представляет собой соединенные параллельно индуктивность и сопротивление (рис. 40.7).
R |
= k |
2 |
, |
|
k |
k |
= lim |
|
Za′ (p +σk ) |
, |
|
σ |
k |
= −1 |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p→−σk |
|
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
p + |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k2 |
|
2 |
|
||||||||
k |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
, R = |
Ом, L |
= |
= |
=1 Гн. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
2 |
σ2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
p→− |
1 |
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
p |
2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2
Рис. 40.7
L2
С0
R2
Рис. 40.8
Таким образом, Za имеет вид, представленный на рис. 40.8. 2. Zb = Zb′ + Zb′′, Zb′′ =1 Ом реализуется сопротивлением.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-418- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
Zb′ = |
|
2 p |
|
реализуется параллельным колебательным контуром с па- |
||||||||||||||||||
p2 +1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(p2 |
+ ω22 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
Zb′ |
|
|
2 |
C |
′ |
|
1 |
|
′ |
|
1 |
|
||||
раметрами |
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
, |
ω =1, |
= |
|
Ф, |
= |
|
= 2 Гн. |
||||||
|
|
C′ |
|
|
p2 →−ω22 |
|
p |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
ω2C′ |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
Таким образом, Zb имеет вид, показанный на рис. 40.9. И окончательно имеем мостовой четырехполюсник (рис. 40.10).
L2′
С2′
R
Рис. 40.9
L2
С0
R2
R L2′
С2′
Рис. 40.10
Рассмотрим метод реализации ненагруженной симметричной скрещенной цепи по одному заданному параметру Z12.
Действительно, Zb – Za = 2Z12. Необходимо найти Za и Zb.
Если ограничиться схемами с элементами двух типов (LC, RC или RL), то можно применить разложение 2Z12 на простые дроби.
Пример 2. Пусть Z = |
1 |
|
−2 p3 +3 p2 −12 p |
. |
||
2 |
(p2 |
+9)(p + 2) |
||||
12 |
|
|
Тогда
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-419- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
|
|
|
|
2Z |
|
= Z |
|
− Z |
|
= |
3p2 + |
6 p |
− 2 p3 −18 p |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b |
a |
(p2 +9)(p + 2) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
3p(p + 2)− 2 p(p2 +9) |
= |
|
3p |
− |
|
2 p |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(p2 +9)(p + 2) |
|
p2 +9 |
|
p + 2 |
||||||||||||||
Реализуем Za и Zb. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Za = |
2 p |
|
представляет собой параллельно соединенные индуктив- |
||||||||||||||||||||||
p + 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ность и сопротивление (рис. 40.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
R |
= k |
2 |
= lim |
Za (p + σ2 ) |
= |
2 p(p + 2) |
= 2 Ом. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
p→−σ2 |
|
|
|
p |
|
|
|
(p + 2)p |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 = k2 = 2 =1 Гн. σ2 2
2. Zb = p32 p+9 реализуется параллельным колебательным контуром с параметрами
1 |
|
Zb (p2 + ω22 ) |
|
|
|
3 p(p2 |
+9) |
|
1 |
|
2 |
|||||||||
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
, |
ω = 9, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(p |
|
|
9)p |
|
|||||||||
C′ |
|
p2 →−ω22 |
|
p |
|
|
|
|
p2 →−9 |
2 |
+ |
|
Ф |
|
2 |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
′ |
|
1 |
|
1 3 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω22C2′ |
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
C2 |
= |
3 |
Ф, |
L2 |
= |
|
= |
|
9 |
Гн. |
|
|
|
Полученное решение не единственное, так как любую положительную вещественную функцию Z0Z0 можно добавить к Za и Zb не изменяя при этом Z12. И окончательно имеем мостовой четырехполюсник (рис. 40.11).
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-420- |
ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Синтез передаточных функций четырехполюсников
L2
Z0
R2
Z0 L2′
С2′
Рис. 40.11
Для того чтобы метод не приводил к неудаче необходимо так распределять вычеты в полюсах Z12, чтобы простые дроби Za и Zb порознь были положительными вещественными функциями.
Основные недостатки мостовых четырехполюсников:
1.Мостовой четырехполюсник − уравновешенная структура, невозможно заземление выводов входа и выхода.
2.Очень большое число элементов в схеме.
Контрольныевопросы
1.Какими свойствами обладают Z-параметры четырехполюсников?
2.КакиесоотношениявыполняютсядлявещественныхсоставляющихZ(p)?
3.Какие ограничения накладываются на расположение полюсов и нулей коэффициента передачи по напряжению в режиме холостого хода?
4.В чем заключаются условия Фиалкова − Герста?
5.Каковы преимущества и недостатки мостовой реализации четырехполюсников?
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-421- |