энергия в свою очередь пропорциональна значению ЛПЭ, с кото­рым частица входит в чувствительный объем, и длине пути в пре­делах этого объема. Знание формы распределения импульсов по длине пути регистрируемых частиц позволяет найти характер амп­литудного распределения электрических импульсов счетчика.

§ 85. Связь лпэ-распределения с амплитудным спектром

В СФЕРИЧЕСКОМ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СЧЕТЧИКЕ

Пусть некоторый объем пересекается прямолинейными трека­ми заряженных частиц. Примем, что ЛПЭ каждой отдельно взя­той частицы в пределах данного объема не изменяется. Пусть чис­ло частиц, заканчивающих или начинающих свой путь в рассмат­риваемом объеме, пренебрежимо мало ؛по сравнению с общим чис­лом пересечений; это< условие выполняется тем лучше, чем меньше линейные размеры объема. В то же время будем считать, что рассматриваемый объем достаточно велик, чтобы не сказывались флюктуации энергетических потерь частиц при взаимодействии их с веществом в пределах данного объема.

При принятых предположениях энерговыделение ei в одиноч­ном событии пролета частицы равно

_ei = /L, (85.1):

где I — путь, проходимый частицей в пределах данного объема; L — ЛПЭ частицы.

Установим связь между распределением событий по■ ЛПЭ и распределением событий по энерговыделению. Пусть по-прежнему t(L)—плотность ЛПЭ-распределения (частотный ЛПЭ-спектр); t(L)dL — вероятность того, что произвольно выбранный трек (или событие) связан с частицей, ЛПЭ которой лежит в интервале L, L+dL\ f(ei)—плотность распределения энерговыделений, опреде­ленная таким образом, что f(si)،Zei выражает вероятность того, что в случайно выбранном событии энерговыделение находится в интервале ei, ei+،/ei٠ Нашей задачей, следовательно, является установление связи между функциями й(|٤) и f(ei).

Пусть g(l) есть плотность распределения числа событий по длине хорд в данном объеме, тогда вероятность того, что в слу­чайно выбранном событии длина хорды меньше /, равна

G(Z)٦Jg(Z)،ZZ. (85.2)

Длина хорды связана с энерговыделением через ЛПЭ:

Z=₈₁/85.3) .٤؛)

Следовательно, функцию G(Z), определенную формулой (85.2), можно записать G(ei/٨), что означает вероятность иметь длину хорды в произвольном событии в интервале от 0 до■ ei/Л. Энерго­выделение равно произведению ЛПЭ на длину хорды, поэтому 263

6(е٠11>Щ(Ь)д.Ь есть вероятность того, что для частиц с Л ПЭ от Ь до энерговыделение в одном событии лежит в интервале от

О до £]. Проинтегрировав это произведение по всем значениям ЛПЭ, получим функцию Р(е1)— вероятность того, что в случай­но выбранном событии энерговыделение меньше или ■равно

۶(е٠)= ٢/(£)٥(_е1/٤)،/٤.

(85.4)

Функции ۶(£1) и /(б]) связаны между собой соотношением /(е1)=،/۶(£1)/٥£1٠

Подставив сюда формулу (85.4), получим

5. ٩/٠٠) ٥] ٠ (٤)۶ = ٥٤()٥(٤)،У ٦٠ = (Це٠

£(/), воспользовавшись соотношением (85.3):

Производную функцию ٠(е١/٤) легко выразить через функцию

^е1 £

(85.6)

Вместо (85.5) теперь можем написать

/(⁶х)-р٢٠ (٢) ٠

о

(85.7)

Обратим внимание на то, что длина хорды в заданном объеме имеет некоторую максимальную величину /макс, соответствующую определенному направлению пролета частицы; все частицы, про- летающие по другим направлениям, имеют путь в данном объеме, ؛меньший /макс. Следовательно, в любом событии заданное энерго- выделение £1 может быть обеспечено, если ЛПЭ частицы ^б1//макс٠ Другими словами, для заданного энерговыделения наи- меньшее значение ЛПЭ равно ٤о = е1//_Макс٠ Этим определяется нижний предел интегрирования в формуле (85.7). Все частицы, имеющие ЛПЭ меньше 81//_Макс, не дадут вклада в функцию ٨(е1)٠

Следовательно,

К٩) =

٠(т)٦■

(85.8)

؛—٤٠»/،КС

Формула (85.8) устанавливает связь между распределением /(£1) и ؛(£) для любой формы объема. При принятых нами пред- положениях вид функции я(81/٤) зависит исключительно от гео- метрических факторов. В частности, для сферического объема, как показано в § 84, функция §(/) определяется формулой (84.7).

Рассмотрим по-прежнему два частных случая.

264

1. Сферический объем радиусом г в изотропном поле треков .

8. ول=بب-(،)،

Подставив формулу (85.9) в (85.8), получим

10. ' ■هآ ٢ ي=(٠٠)/

2٢/اه=₀]

2. Крайне неизотропное поле треков: точечный источник на по- верхности сферы

10. 7٠آ = (ا)ج

Подставив формулу (85.11) в (85.8), получим

(85.12)

علعلا

ь аь

н

2 г/ا٠=٠لح

٠١«

Формулы (85.10) и (85.12) позволяют вычислить распределение числа событий по энерговыделению 61, если известен частотный ЛПЭ-спектр /(А). В пропорциональном счетчике амплитуда им-, пульса пропорциональна энерговыделению 81 и, следовательно, функция ПеО может быть найдена экспериментально.

Преобразуем формулы (85.10) и (85.11) к такому виду, чтобы по экспериментальному амплитудному спектру ٢(®1) можно было найти функцию ؛(£). Перепишем формулу (85.10) в следующем виде:

13. Iاآ ٢ د = آ

2٢/اى=0ك ¹

Продифференцируем по 61 отдельно левую и правую части фор- мулы (85.13):

(85.14)

٠ لالآم — (ي ر ح [ (ائ>۶ ] ع

Обозначим

غي٠آ И найдем производную

(85.15)

*مى؛ اه

٠2خ 0كه

* Здесь мы воспользовались основной теоремой интегрального исчисления, согласно которой تع)ب(ة)لى(ة)/ ؛ ة);

265٠

Так как ٤о٠=е1/2г, из формулы (85.15) легко получить производ­ную интеграла V по ей -^-== — 2г■^-. (85.16) Комбинируя формулы (85.13), (85.14) и (85.16), напишем сле­дующее уравнение: 1 ٠) 1(٩) __ 1 <(٤о) Отсюда, заменяя обозначение ٤0 величиной Ь, получаем соотно­шение между ЛПЭ-распределением и спектром энерговыделений: |آ1ق-(1 ٠)ر]٢ه(ئ)،

, (85.17)

где б1=2г٤. Формула (85.17) позволяет найти частотное ЛПЭ- распределение по известному спектру энерговыделения для изо­тропного поля треков.

Для случая крайней анизотропии (точечный источник на по­верхности сферы) формула (85.17) приобретает другой вид, и в качестве исходной выступает формула (85.11). Применив к ней рассмотренную выше процедуру преобразований, получим фор­мулу

/(£) =— 2г_е1,[،// (©О /٥В1]. (85.18)

Установим теперь связь между амплитудным спектром пропор­ционального счетчика ۶(е٤) и дозовым ЛПЭ-распределением ٤)٥). Для газа плотностью р доза, обусловленная частицами, ЛПЭ ко­торых находится в пределах от Ь до равна

٥ (I) ،Я, = ٤ Ф <، (!) ،/£, (85.19)

где ф —полный флюенс частиц, пересекающих чувствительный объем счетчика. Для сферического объема радиусом г флюенс связан с полным числом частиц Па, пролетевших через объем, простым соотношением

ф = по/№. (85.20)

Плотность дозового ЛПЭ-распределения можно теперь пред- ставить в следующем виде:

21. .(غ)،٤د=(غ)ه

Подставив формулу (85.17) в (85.21), получим связь дозового

ЛПЭ-спектра с амплитудным спектром сферического пропорцио­нального счетчика в случае изотропного поля треков:

£)([) =

٥٤»

лгр

٦٠(٠

(85.22)

266