Последний интеграл есть частотное среднее значение лпэ. От сюда

ЫГт. (82.18)

Нормированный дозовый ЛПЭ-спектр а([) полностью совпа- дает с нормированным ЛПЭ-спектром поглощенной энергии, определяемым формулой

19. .وآل : ■ ^خ(خ)هم = (غ)ع

س(ك)عئ

Из уравнения (82.19) непосредственно следует, что ٠٢ а ([)،/£: 1. о

Энергетическое среднее линейной передачи энергии Ее теперь можно выразить через дозовый ЛПЭ-спектр:

19. .غبك](غ)عل=£خ

Величину Ее называют также дозовым средним значением лпэ.

Полезной характеристикой дозного ПОЛЯ является также ин- тегральная форма дозового ЛПЭ-распределения ٥٤, выражаемая следующей формулой:

٢==٥٤а(£)،/[. (82.21)

о

есть доля дозы, в которую вносят вклад все частицы со зна- чениями ЛПЭ, меньшими или равными Е:

(82.22) ٠ب(غ)ه

§ 83. Формирование лпспектров. Средние значения

Рассмотрим подробнее формирование спектров излучения в рассеивающей и поглощающей средах. Пусть имеется однород- ное поле излучения, создаваемое равномерно распределенными источниками в бесконечно протяженной среде. Допустим снача- ла, что источники испускают моноэнергетические электроны с энергией Е0. Поскольку поле однородное (равновесное состоя- ние), энергия, испущенная источниками за некоторое время, в любом элементе объема равна поглощенной энергии. Испущен- ные источниками электроны, взаимодействуя со средой, изменяют свою первоначальную энергию, в результате действующее излу- чение в среде оказывается немоноэнергетическим, хотя источни- ки испускают электроны одной энергии.

253

Пусть у(Ео, Е)йЕ — рассчитанный на одну первичную части­цу флюенс электронов в интервале энергий от Е до Е+с1Е дей­ствующего равновесного спектра, образованного в результате за­медления частиц с начальной энергией Е_о. Примем далее, что за время наблюдения в каждой единице объема источниками испу­скается один электрон с начальной энергией £٠٠

Тогда энергия А£٦,, поглощенная в единице объема среды, будет равна

А£٥ = /у (Е_о, Е) Ь (£) с1Е, (83.1)

где ЦЕ) —ЛПЭ частиц с энергией Е.

Верхний предел интегрирования обусловлен тем, что в дей­ствующем спектре, образованном в результате замедления ча­стиц, испущенных источниками, не может быть частиц с энер­гией выше начальной энергии Е_о.

Так как поле однородно и спектр равновесный, в каждой еди­нице объема поглощенная энергия равна испущенной и поэтому

А£٠=£о٠ (83.2)

Теперь вместо формулы (83.1) можем написать

£٥= (у(Е_в, £)£(£)،/£. (83.3)

В то же время

(83.4) .£/، ٤٥ = ٥£

Сопоставляя формулы (83.3) и (83.4), приходим к выводу, что

у(Е₀, Е)ЦЕ)=1. (83.5)

Здесь следует обратить внимание на размерность величин: стоя­щая в правой части единица имеет размерность [объем ~؛]. Итак, согласно формуле (83.5) действующий спектр оказался обратно пропорциональным ЛПЭ частиц. Мы рассмотрели фор­мирование спектра в приближении непрерывного замедления.

В приближении непрерывного замедления, во-первых, пре­небрегают дискретным характером взаимодействия частиц с ве­ществом и, во-вторых, полагают, что вся энергия, переданная в каждом акте взаимодействия, реализуется в веществе в той же точке, где произошло взаимодействие; по существу пренебрегают особенностями, связанными с б-частицами.

Положим теперь, что источники испускают не по одной ча­стице с определенной энергией в единице объема, а дают целый спектр частиц с различными энергиями. Пусть п(£о)،/£٠ — число частиц в энергетическом интервале £٠, £о+٥£о, испускаемых источниками в единице объема. Функцию п(£٠) можно назвать

254

спектром источника, или эмиссионным спектром. Действующий спектр в этом случае определится формулой

Ф(Е) = ؛у(٤₀; ٤)/г(Е₀)،/£₀٠ (83.6)

где у(£о; Е) имеет прежнее значение.

Смысл Ф(£) определяется тем, что Ф(Е)йЕ есть флюенс ча- стиц в энергетическом интервале Е, Е-\-йЕ. Пределы интегриро­вания учитывают, что в действующий спектр ф(£) вносят свой вклад все частицы эмиссионного спектра, энергия которых Е^Е. Используем соотношение (83.5) и вместо формулы (83.6) напи­шем

^ф(£)=٠،٢'^г(£٠٠^{£/،(٥ (83٠7)}

Формула (83.7) позволяет рассчитать действующий спектр в при- ближении непрерывного замедления по заданному эмиссионному спектру.

Поскольку ЛПЭ однозначно функционально связана с кине- тической энергией частиц, частотный ЛПЭ-спектр Ф(٤) и частот- ный энергетический спектр Ф(£) находятся между собой в сле- дующем соотношении:

Ф(٠=Ф(٠. (83.8)

Используя формулу (82.16), напишем следующее выражение для нормированного дозового ЛПЭ-распределения:

а(٤)=£Ф(٠, (83.9)

где р — плотность среды, а ٥ — поглощенная доза излучения. Подставив в формулу (83.9) Ф(٤) из уравнения (83.8), получим а (٤=(٤Ф(£)/[р (،/£/،/£) ٥]. (83.10)

Из формул (83.7) и (83.10) находим следующее окончательное выражение для нормированного распределения дозы по ЛПЭ:

؟٠ п(Е ₀) ،7£٠

а (٤) =

(рШ£/،/£).

(83.11)

Ненормированное распределение связано с нормированным про­стым соотношением

£>(٤)=а(£)Р. (83.12)

Приближение непрерывного замедления не полностью аде­кватно реальной картине формирования спектров в среде. Части­цы эмиссионного спектра, замедляясь, преобразуют большую часть своей энергии в процессах ионизации и возбуждения, но часть энергии преобразуется в тормозное излучение, которое ухо­дит из рассматриваемой области. Часть энергии поглощается не- 255

посредственно вдоль трека первичной частицы, а часть уносится б-электронами. Учет 6-частиц можно произвести, используя двух­групповую модель для расчета ЛПЭ-спектров, с которой мы уже познакомились при рассмотрении теории полостных ионизацион­ных камер (см. § 29).

Сущность модели заключается в том, что устанавливается по­роговая энергия А, которая делит все столкновения на две груп­пы: в одной из них переданная энергия меньше А, а в другой — больше, 6-Частицы, возникающие в столкновениях второй груп­пы, относятся к первичному спектру частиц. Таким образом, если в приближении непрерывного замедления к первичному спектру относят лишь эмиссионный спектр, то в двухгрупповой модели в первичный спектр включают и 6-частицы, энергия которых выше А. Кроме того, в расчетах используют ограниченное значение ЛПЭ ٤д. Двухгрупповая модель позволяет вычислять дозовое распределение по ограниченной ЛПЭ ад(٤).

На рис. 72 представлен нормированный дозовый ЛПЭ-спектр электронов в воде, освобожденных у-излучением ⁶٥Со. Заметим, что по оси ординат отложена величина а(٤(٤, представляющая долю поглощенной дозы на единичный интервал 1п٤ в соответст­вии со следующим преобразованием:

а(٥٤(٤=а(٤٠٤(٤). (83.13)

В таком представлении площадь под кривой графика непо­средственно указывает дозу в определенном интервале ЛПЭ, по­скольку

٤٥ 1П

٢а(١ = ٤/،(٤ а(٤(٤،/(1п٤). (83.14)

٨٠ 1п ٨٠

На рисунке видна деформация спектра при изменении поро­говой энергии А. На оси абсцисс отмечены значения частотной средней Гд,т и дозовой средней ٤д٠_Е ЛПЭ при Д=100 эВ.

Рисунок 73 дает примеры интегрального дозового ЛПЭ-спек- тра излучения ^6٥Со, нейтронов с энергией 14,6 МэВ и а-частиц с энергией 5,3 МэВ.

Рисунок 72 показывает достаточно большое различие между ٤д,е и ٤д,_т, что характерно для излучений с низкой ЛПЭ. Рас­смотрим подробнее закономерности поведения средних значений ЛПЭ. Перепишем формулу (82.5)

15. .£/،£(£) ١٦ ٤٢

Здесь величину |(٤) можно трактовать как плотность распреде­ления случайной величины ٤. Тогда, если использовать терми­нологию математической статистики, ٤_т есть первый момент это­го распределения.

256

Рис. 72. Нормированный дозовый ЛПЭ٠спектр электронов в воде Рис. 73. Интегральный дозовый ЛПЭ٠спектр различных видов излучения Напишем теперь следующее соотношение для дозовой ней ЛПЭ:	сред-
.خي2ك(غ)؟ل ل تكي](غ)۶ت£غ 0 0	(83.16)

Последний интеграл в формуле (83.16) есть второй момент рас- пределения ا(غ)ع равный произведению Ь_ЕЬт Вспомним, что дисперсия ٠2 распределения случайной величины равна второму моменту минус квадрат первого момента. Следовательно,

٠2 أك£خت — ц =:أغ (Ье—Гт). (83.17)

Формула (83.17) справедлива и для ограниченных значений лпэ, Ьл_Е и £д,т. Из этой формулы следует, что дозовое среднее лпэ все'гда больше частотного среднего; Ье>Ьт.

Чем значительнее дисперсия, тем больше различаются энер- гетическое и частотное значения лпэ. Эти величины равны между собой лишь при 0²=0, т. е. в случае, когда излучение со- стоит из частиц с одним и тем же значением лпэ.

При сравнении относительной биологической эффективности (ОБЭ) двух видов излучений сложного состава возникает во- прос, какое среднее значение лпэ можно для этого использо- вать?

Рассмотрим два вида излуч'ения, один из которых содержит частицы с одинаковыми значениями лпэ, равными اغ; назовем это излучение однородным. Другой вид излучения - неоднород- ное - состоит из частиц с различными лпэ, и дисперсия лпэ для неоднородного излучения равна 2٠إ٠ Тогда

83.18) ,(1— -آ4 ₌ ة٠)

257