§ 6. Теорема фано

Фано показал, что в изотропном поле фотонного излучения (характеристики поля одинаковы во всех точках пространства) поток вторичного излучения (электроны) в среде неизменного атомного состава также изотропен и не зависит от плотности среды и изменения плотности от точки к точке. Качественно это можно понять из следующего.

Пусть в однородной по плотности и составу среде поток элек- тронов с некоторой фиксированной энергией через данную пло- щадку 5 равен Эту площадку смогут пересечь лишь те элек- троны, которые освобождены первичным излучением в пределах слоя вещества толщиной, равной пробегу электронов 7? (рис. 5). Условно примем, что все электроны летят по направлению нор-

мали к площадке 5. Пусть п_е— число электронов, освобожден- ных в единице объема среды.

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Фано

(6.1) ^п_е(1х = 8п_е ؟ 5 =

Уменьшим плотность среды, начиная с некоторого расстояния ٢<7? и далее, в £ раз. Теперь в слое толщиной г в единице объ- ема по-прежнему освобождается

22

(6.2)

Я»

م 1

٠ دمأااآ+٠ؤك:ة

Подставив значение £1 в формулу (6.2), получим после ин- тегрирования ۶حم=صرك٠=اج, т. е. поток электронов не изме- нился.

Рассуждая аналогичным образом в случае электронов, имею- щих другие энергии и направления движения, получаем под- тверждение теоремы Фано.

Обосновать теорему Фано в более общем случае можно еле- дующим образом. Рассмотрим поле электронного излучения в безграничной однородной по составу среде, плотность которой в общем случае изменяется от точки к точке. Пусть в этой среде распределен источник электронов, мощность которого пропор- циональна локальной плотности среды; другими словами, счи- таем, что число электронов, возникающих в единице объема, пропорционально плотности среды.

Пусть ф(£, й, г) флюенс электронов, обладающих

энергией Е в интервале с1Е и летящих в направлении й в пре- делах телесного угла (1 й около точки, определяемой радиусом- вектором г;

к(Е, г) —линейный коэффициент любого взаимодействия элек- тронов с веществом около точки г;

£(£', £; й'٠й; г)1й — линейный коэффициент таких взаи- модействий, при которых электрон с энергией Е'>Е и направ- лением движения й' приобретает энергию Е в интервале с1Е и направление движения й в интервале ،Уй *;

5(£, й, г) لسه —число электронов указанных энергии и направления, испускаемых источником в единице объема среды около точки г.

Кинетическое уравнение, описывающее баланс числа элек- тронов в единице объема, запишем следующим образом:

й', г)^й^£' = й٧Ф + л:Ф. (6.3)

Здесь и далее мы опускаем запись аргументов, от которых за­висят 5, /г, к, ф.

* Скалярное произведение векторов Й'٠Й выступает в качестве аргумента величины £ потому, что сечение взаимодействия зависит от угла между началь­ным и конечным направлениями движения частиц.

23

S— ٢ ٠ j ٠٠

Е 4к

= 0.

(6.5)

Вернемся к рассмотрению среды с переменной плотностью. Пусть плотность изменяется по закону р(г). Введем величину относительной плотности £(г) =р(г)/р₀. С точностью до эффекта плотности можно считать, что линейные коэффициенты взаи­модействия электронов с веществом пропорциональны плотности среды; кроме того, мы условились, что мощность источника так­же пропорциональна плотности. Запишем эти условия:

s = s؛(r); я: = ؟٨٢(г); k = k^(y). (6.6)

Подставим выражения (6.6) в кинетическое уравнение (6.3):

Й٢Ф =

s — я:Ф +٢١ k<M£l' dE'

Е 4١с

.(г)؛

(6٠7)

Покажем теперь, что не зависящая от координат величина Ф удовлетворяет уравнению (6.7), а следовательно؛ является ре­шением уравнения (6.3). Для этого подставим Ф в уравнение (6.7). Поскольку Ф не зависит от координат, ٧Ф=0 и левая часть уравнения обращается в нуль; множитель в квадратных скобках в правой части уравнения (6.7) также обращается в нуль в соответствии с уравнением (6.5). Заметим, что правая