где
индекс 2 относится к неоднородному
излучению. Понятно, что для однородного
излучения дисперсия ЛПЭ равна нулю.
Обозначим величины, относящиеся к
однородному излучению, индексом 1.
Напишем очевидные равенства
٤1
—٤т1 ٠
١21
—:
٥٠
Допустим
теперь, что частотное среднее значение
ЛПЭ однородного излучения Lti
больше,
а его энергетическое среднее Lei
меньше,
чем соответствующие средние значения
ЛПЭ для неоднородного излучения:
Ln
*>
ا٢2غ
Lex 2٠£خ
>
ااًك
Найдем
условия, при которых эти неравенства
соблюдаются Пусть Ьт1
= аЬт2',
اأخؤ=ا£خؤع2ةلك,
где
множители'а и ь
больше единицы.
В
соответствии с формулой (83.18) напишем
اآدأI
ab
لأزا
2
7
=
٥2
(83.19)
г„
=
Поскольку
дисперсия не может быть отрицательной,
то в
формуле (83.19) обязательно должно
соблюдаться неравенство
й٥>1,
что не противоречит исходным условиям
(а и ٥
больше
единицы).
Таким образом, мы показали, что практически
могут
быть такие условия, при которых
среднее частотное ЛПЭ для
данного
вида излучения (в нашем случае ٤тг)
меньше среднего
частотного ЛПЭ
некоторого реперного излучения, в то
время как
среднее энергетическое ЛПЭ
данного излучения (в нашем случае
٤Е2)
больше
среднего энергетического ЛПЭ реперного
излучения.
Это
заставляет быть особо осторожным при
сравнении ОБЭ излу-
чений различного
состава по средним значениям ЛПЭ. Во
всех
случаях при таком сравнении надо
использовать среднее энерге-
тическое
значение ЛПЭ.
Рассмотрим
прохождение ионизирующих частиц через
сфери- ческую полость радиусом г
(рис. 74). Расстояние от источника S
до
центра сферы с примем равным р. Найдем
число частиц, пересекающих сферу" в
пределах телесного угла dQ=2л
sin
0dd.
Сделаем
следующие предположения:
частицы,
вылетающие из источника, летят строго
прямо- линейно;
каждая
частица, попавшая в полость, обязательно
Пересе- чет ее. ОчеВ'ИДНо, это число'
частиц пропорционально sin
01
258§ 84. Распределение длины пути в сферической полости
|
Рис.
74. Прохождение частиц через сфе٠
рическую
полость радиусом г
Из
.рисунка ВИДНО', ؛ЧТО’
сов20=1—(/؛/р)2;
Л2=٢2—(2(2/ءد.
Сле- довательно,
соз20=1—
(г/р)2-Нх/2р)2 = 1— (г/р)2[!—(х/2г)2]; (84.1); Дифференцируя cos 0 по X, получаем |
(84.2) |
|
sii |/1 — (٢/۶; 1ا — (х/‘2г )‘٠لع |
(84.3) |
|
Пусть
есть число частиц, пересекающих сферу
за некото-
рый промежуток времени
I
в пределах телесного угла ،/□,
Мо- ٢1-(г/р)Ч1-(х/2г)2٢’ |
(84.4) |
|
где а — постоянный коэффициент, включающий знак множитель 1/4р2 и учитывающий размерность. |
«минус». |
Если
по — полное число частиц, пересекающих
сферу под все-
ми углами за то же время
I,
то
й٥
I
٢1
- (г/р)1]
،؛
-
(х/2г)٥1
’ (84٠5١
о
Отношение
،/п/и٥
определяет
вероятность того, что случайно выбранная
частица пролетит в пределах телесного
угла ،Ш.
Заметим, что частица, пролетающая в
направлении 0, проходит путь в ؛пределах
выбранного объема, равный х.
Следовательно, (1п1п٠о
есть также вероятность того, что длина
пути частицы в сферическом объеме
будет находиться в пределах от х
до х-\-Лх.
Обозначим
эту вероятность Ф(х)<1х.
Используя
значения йп
и п0
по формулам (84.4) и (84.5), получаем
&
(х) ،/х
= йп!па
؛٦
(84.6)
17* 259
Рис.
75. Функция распределения длины пути:
а
—
источник далеко от центра сферы; б
—
источник на поверхности сферы
ИЛИ
ПЛОТНОСТЬ вероятности
(د)
حو ة (84.7)
.
كاذلأو)
определяет долю частиц на единичный
интервал пути, име- ющих в пределах
сферического объема длину пути, равную
X.
Функция
هق(%)
пО'ДЧиняется условию нормировки
1٠
=
د/،(د)هوئ
Это
условие .означает, что любая частица,
попавшая в объем по- Лости, обязательно-
будет иметь длину ,пути, находящуюся в
пре- делах от о .до 2г.
Рассмотрим
два частных случая: '1) источник находится
дале- ко от це-нтра сферы и- 2) источник
находится на поверхности сферы.
В
первом случае р»г; г/р<1. Используя это
условие, из фор- мулы (84.7) :получаем
следующее выражение:
(84.8)
\Х(1х
= х/2г
٠ل
/د=(ح)دج
Графически
эта функция выражается прямой линией,
идущей из начала координат, с максимальным
значением, равным 1 /г при л:=2г(рис. 75,а).
Во
вто-ром случае р==г и выражение для ع)و)
принимает вид
Функция
(рис.
75,6).
د)
دو)
= X
/ [(х/2г) 2لгйх
= 1/2٢.
выражается
прямой,
параллельной
оси
(84.9)
абсцисс
260
практически
наиболее важным является случай, когда
источ- ник расположен далеко от центра
сферы؛
сферический
объем на- ходится в однородном поле
излучения, и. распределение длины путей
частиц согласно формуле (84.8) имеет
треугольную форму.
Однородное
поле излучения наблюдается не только
при боль- ших расстояниях от точечного
источника, но и внутри распреде- ленного
источника. Типичным примером того
.служит стеночная сферическая
ионизационная камера, помещенная в
поле у-излуче- НИЯ. Если выполнены
условия 'Брэгга—грея, полость каме.ры
не искажает П'ространственного и
энергетического распределения
электронов, возникающих в окружающем
веществе под действи- ем - квантов. При
однородном потоке - излучения поток
вторич- ного излучения ('электроны и
позитроны) будет также однород-' ным и
не зависящим от плотности среды и
изменения плотности от точки к точке
(см. § 6). Следовательно, распределение
пробегов в сферической газонаполненной
полости будет таким же, как и в малО'М
сферическом .объеме, выделенном внутри
твердого тела, ес- ли только принять,
что линейные -размеры этого .объема
пренебре- жимо малы по сравнению с
длиной пробега частиц вторичного
излучения. Аналогичная ситуация
наблюдается, если камера ма- лого объема
с водородсодержащими стенками облучается
.быстры- ми нейтронами, в этом случае
полость пересекается протонами отдачи.
Покажем,
что. распределение длины путей частиц,
пересекаю- пх малый сферический 0'бъем,
выделенный внутри вещества, 0٠б-
лучаемого однородным потоком первичного
излучения, имеет тре- угольную форму.
Пусть по-прежнему г —радиус сферического
объема (см. рис. 74), а Л —пробег вторичных
частиц в облучае- мом веществе, который
для простоты примем одинаковым ,для
всех частиц. Положим, что r(R.
Пусть
далее *V
будет
число ча- стиц, возникающих в единице
объема облучаемого вещества под
действием первичного излучения. Тогда
в сферическом слое dp,
находящемся
на расстоянии р от центра -сферы,
образуется 4؛ncp2vdp
частиц,
равномерно разлетающихся в ,-Пределах
телесно- го угла 4л. Внутри выделенной
сферы радиусом г
только 'Те ча- стицы будут иметь длину
пути в пределах от X
до xidx,
которые летят в пределах 'телесного
угла dß=2jr
sin
ede. То٠гда
число ча- стиц ttp(dx,
образующихся
в .сферическом слое dp
и
имеющих длину пути в малом сферическом
-О'бъеме в пределах от X
ДО' xi
-d,
будет
равно.
flp(x)dx='v4rcp2(dp/4tt)2n;sin0d0
= 2n;-vp2sinedpd9. (84.10)
Заменяя sin0d0
значением
по формуле (84.3), будем иметь
(84-11) ■أم؛’آ-]٠،ا٠اا
Чтобы
получить полное число частиц n(x)dx,
пересекающих
сферический объем и имеющих длину пути
в пределах от X
до xidx,
надо проинтегрировать выражение (84.11)
по толщине слоя
261
|
-вещества,
равной جر.
При подстановке пределов интегрирования
чтем, что с увеличением расстояния р
угол е, соответствующий данному
значению X,
уменьшается. Теперь напишем следующую
формулу для определения п(х)йх:
(84.12)
Интегрирование
приводит к следующему выражению:
/г(ث
ت ددنح
V
84.13)
.د/،{2/د
— ٩(ك2/د)
— 1]
2(?راك)
— 1
از}
جرد)
По
У-СЛОВИЮ г/т?<1, а رعذعر,
поэтому достаточно точно можно на-
-писать
п(х)йх=л٢/?х٥х/2. (84.14)
Полное
число частиц АЛ, освобожденных
первичным излучени- ем в пределах
сферы радиусом م
и
пересекающих малую сферу радиусом г
во всех направлениях, будет равно- V* |
(84.15) |
где
ى
—телесный
угол, под кот-0'рым виден объем малой
сферы радиусом г
из элемента о-бъема تجاه.
Интегрирование произво-дится по всему
сферическому слою толщиной К—г.
При упомянутых выше условиях пО'ЛНое
число частиц, пересекающих малую сферу:
(84.16)
Из
формул (84.14) и (84.16) легК'0 получить
окончательно-е
Очевидно,
отно-шение п(х)٥٠
равн-0'
вероятности того, чт-0
ПР'ОИЗВОЛЬНО
выбранная частица, пересекающая объем
мало-й сфе-
ры, имеет длину пути внутри
этого объема, лежащую в пределах
от
X
до х٥؛х.
выражение
для вероятн-ости
(84.17)
٠لا1)خ:ل1)١كلمد9
Отсюда
ВИДНО', что функция د)ص)
-имеет такой же вид, как и для точечного
исто-чника, расположенного далеко 'ОТ
центра малой ٠ръ٦.
Следователь™, 6 полостной тканеэквивалентной
сферие- ской камере, помеченной в поле
фотонного или нейтронного излу- нения,
распределение вторичных настиц по
йлине пути в пределах газового объема
камеры будет треугольным.
Если
подобная камера работает в режиме
пропорционального счетчика, можно
говорить о расп.ределении числа
импульсО'В по длине пути ионизирующих
частиц. Очевидно, это распределение
также будет иметь треугольную фо-рму.
Амплитуда каждого ИМ" пул-ьса
пропорциональна энергии, потерянной
частицей при пере- сечении чувствительного
объема -счетчика. Потерянная частицей
262