6.3. Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Конечной целью выборочного наблюдения является ха­рактеристика генеральной совокупности на основе выбороч­ных результатов.

Выборочные средние и относительные величины распро­страняют на генеральную совокупность с учетом предела их возможной ошибки.

В каждой конкретной выборке расхождение между выбороч­ной средней и генеральной, т.е. может быть меньше средней ошибки выборки , равно ей или больше ее.

Причем каждое из этих расхождений имеет различную веро­ятность (объективную возможность появления события). По­этому фактические расхождения между выборочной средней и генеральной можно рассматривать как некую предельную ошибку, связанную со средней ошибкой и гарантируемую с оп­ределенной вероятностью Р.

Предельную ошибку выборки для средней ( ) при повторном отборе можно рассчитать по формуле:

, (6.20)

где t— нормированное отклонение — «коэффициент доверия», за­висящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки; — средняя ошибка выборки.

Аналогичным образом может быть записана формула пре­дельной ошибки выборки для доли при повторном отборе:

. (6.21)

При случайном бесповторном отборе в формулах расчета пре­дельных ошибок выборки (6.20) и (6.21) необходимо умножить подкоренное выражение на 1 - (n / N).

Формула предельной ошибки выборки вытекает из основных положений теории выборочного метода, сформулированных в ряде теорем теории вероятностей, отражающих закон больших чисел.

На основании теоремы П.Л. Чебышева (с уточ­нениями A.M. Ляпунова) с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной генеральной дисперсии выборочные обобщающие показатели (средняя, доля) будут сколь угодно мало отли­чаться от соответствующих генеральных показателей.

Применительно к нахождению среднего значения признака эта теорема может быть записана так:

, (6.22)

а для доли признака:

, (6.23)

где . (6.24)

Таким образом, величина предельной ошибки выборки мо­жет быть установлена с определенной вероятностью.

Значения функции Ф (t) при различных значениях t как ко­эффициента кратности средней ошибки выборки, определяются на основе специально составленных таблиц. Приведем некото­рые значения (которые впоследствии будем использовать при решении задач), применяемые наиболее часто для выборок дос­таточно большого объема (п ≥30):

t 1,000 1,960 2,000 2,580 3,000

Ф(t) 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997

Предельная ошибка выборки отвечает на вопрос о точности выборки с определенной вероятностью, значение которой оп­ределяется коэффициентом t (в практических расчетах, как правило, заданная вероятность не должна быть менее 0,95). Так, при t = 1 предельная ошибка составит , Следова­тельно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превы­сит одной средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±1 . При t =2 с вероятностью 0,954 она не выйдет за пределы ±2 , при t=3 с вероятностью 0,997 - за пределы ±3 и т.д.

Как видно из приведённых выше значений функции Ф (t) (см. последнее значение), вероятность появления ошибки, равной или большей утроенной средней ошибки выборки, т. е. , крайне мала и равна 0,003, т. е. 1—0,997. Такие маловероятные события считаются практически невозможными, а потому величину можно принять за предел возможной ошибки выборки.

Выборочное наблюдение проводится в целях распростране­ния выводов, полученных по данным выборки, на генеральную совокупность. Одной из основных задач является оценка по данным выборки исследуемых характеристик (параметров) гене­ральной совокупности.

Предельная ошибка выборки позволяет определить предель­ные значения характеристик генеральной совокупности и их дове­рительные интервалы:

• для средней ; (6.25)

• для доли ; (6.26)

Это означает, что с заданной вероятностью можно утвер­ждать, что значение генеральной средней следует ожидать в пределах от до .

Аналогичным образом может быть записан доверительный интервал генеральной доли: ; .

Наряду с абсолютным значением предельной ошибки вы­борки рассчитывается и предельная относительная ошибка выбор­ки, которая определяется как процентное отношение предель­ной ошибки выборки к соответствующей характеристике выбо­рочной совокупности:

• для средней, %: ; (6.27)

• для доли, %: . (6.28)

Рассмотрим нахождение средних и предельных ошибок вы­борки, определение доверительных пределов средней и доли на конкретных примерах.

Задача 1. Для определения скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым сред­ний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дням ( = 22) со стандартным отклонением 6 дней (S= 6).

Необходимо с вероятностью Р = 0,954 определить пре­дельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.

Решение. Предельную ошибку определяем по формуле по­вторного отбора (6.20), так как численность генеральной совокупности N неизвестна. Из представленных значений Ф (t) (см. п. 6.3) для вероятности Р= 0,954 находим t = 2.

Следовательно, предельная ошибка выборки, дней:

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Генеральная средняя будет равна , а доверительные интервалы (пределы) генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства:

; .

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятий данной корпо­рации колеблется в пределах от 20,8 до 23,2 дней.

Задача 2. Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 2%-ная, механическая) мало­обеспеченных оказалось 300 семей.

Требуется с вероятностью 0,997 определить долю мало­обеспеченных семей во всем регионе.

Решение. Выборочная доля (доля малообеспеченных семей сре­ди обследованных семей) равна:

; или 2% (по условию).

По представленным ранее данным Ф(t) для вероятности 0,997 находим t = 3 (см. п. 6.3). Предельную ошибку доли определя­ем по формуле бесповторного отбора (механическая выборка всегда является бесповторной):

.

Предельная относительная ошибка выборки, %:

.

Генеральная доля р = w ± ∆_w , а доверительные пределы гене­ральной доли исчисляем, исходя из двойного неравенства: w-∆_w≤p≤w +∆ _w.

В нашем примере:

0,3-0,014≤ p≤ 0,3+0,014;

0,286≤ p≤ 0,314 или 28,6%≤ p≤ 31,4%

Таким образом, почти достоверно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля малообеспеченных семей среди всех семей региона колеблется от 28,6 до 31,4%.

Задача 3. Для определения урожайности зерновых культур про­ведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные дан­ные (табл.6.1). Необходимо с вероятностью 0,954 опреде­лить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйст­вам региона.

Таблица 6.1