5.2.6 Структурные средние

Особым видом средних величин являются структурные сред­ние. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана.

• Мода М_о — значение случайной величины, встречающее­ся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ря­ду — вариант, имеющий наибольшую частоту.

Например, в табл.5.1 наибольшей частотой является число 5. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т.е. выработка деталей за смену. Мода свидетельствует, что в дан­ном примере чаще всего встречаются рабочие, изготавливающие за смену 20 деталей.

В интервальных рядах распределения с равными интервала­ми мода вычисляется по формуле:

, (5.16)

- нижняя граница модального интервала; - модальный интервал; ^— частоты в модальном, пре­дыдущем и следующем за модальным интервалах (соответственно). Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

По данным табл.5.4 рассчитаем моду, млн. руб.:

Итак, модальным значением стоимости ОПФ предприятий региона является стоимость, равная 18,8 млн руб.

Мода широко используется в статистической практике при изучении покупательского спроса, регистрации цен и т.п.

• Медиана М_е — это вариант, который находится в середи­не вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медиа­ны и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое на­ходится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных ря­дах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Пусть ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабо­чих, руб. в месяц (в 1996 г.):

630, 650, 680, 690, 700, 710, 720, 730, 750.

Номер медианы для нечетного объема вычисляется по формуле:

,

где n— число членов ряда.

В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 700 руб. (т.е. одна половина рабочих получила зарплату менее 700 руб., а другая — более 700 руб. в месяц).

В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (по­скольку оно делит всю совокупность на две равные по численно­сти части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накоп­ленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех час­тот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

(5.17)

где - нижняя граница медианного интервала; - медианный интервал; - половина от общего числа наблюдений; сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала; — число наблюдений в медианном интервале.

Формула (5.17) получена исходя из допущения о равномер­ности нарастания накоплений частоты внутри интервала и пригодна для любого интервального ряда.

Рассчитаем медиану по данным табл. 5.4. Прежде всего най­дем медианный интервал Таким интервалом, очевидно, будет интервал стоимости ОПФ предприятий (18—20 млн. руб.), по­скольку его кумулятивная частота равна 18 (2+6+10), что пре­вышает половину суммы всех частот (25 : 2 = 12,5). Нижняя граница интервала 18 млн. руб., его частота 10; частота, накоп­ленная до него, равна 8.

Подставив данные в формулу (5.17), найдем значение меди­ан, млн. руб.:

Полученный результат говорит о том, что из 25 предприятий региона 12 предприятий имеют стоимость ОПФ менее 18 млн руб., а 12 предприятий — более.

Медиана находит практическое применение в маркетинговой деятельности вследствие особого свойства — сумма абсолютных отклонений чисел ряда от медианы есть величина наименьшая:

Мода и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения сред­ней, совпадая с ней только в случае симметричного распределе­ния частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Мода и медиана, как правило, являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в мате­матической статистике для анализа формы рядов распределения.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, деля­щие совокупность на четыре равные (по числу единиц) части — квартели, на пять равных частей — квинтели, на десять частей — децели, на сто частей — перцентели.

Использование в анализе вариационных рядов распределе­ния рассмотренных выше характеристик позволяет более глубо­ко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.