Распределение рабочих по среднему стажу работы

Номер цеха	Средний стаж работы, лет	Число рабочих, чел.
1-й 2-й 3-й	5 7 10	90 60 50
Итого	—	200

В этом примере вариантами являются не индивидуальные данные о стаже работы отдельных рабочих, а средние по каж­дому цеху . Весами являются численности рабочих в цехах.

Отсюда средний стаж работы рабочих по всему предприятию составит, лет:

.

5.2.2. Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интер­валов ("от — до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве зна­чений признаков в группах принимают середины этих интерва­лов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Распределение рабочих ао по уровню оплаты труда

Исходные данные		Расчетные значения Шачения
Группы рабочих по оплате труда, руб.	Число рабочих, чел., f	Середина интервала, руб. Х	х*f
До 1000	5	900	4 500
1000-1200	15	1100	16500
1200-1400	20	1300	26000
1400-1600	30	1500	45000
1600-1800	16	1700	27200
1800 и более	14	1900	26600
Итого	100	-	145800

От интервального ряда перейдем к дискретному путем заме­ны интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интерва­ла). При этом величины открытых интервалов (первый и по­следний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая не­точность, поскольку делается предположение о равномерно­сти распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, — варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), руб.:

.

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 1458 руб. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случа­ев процедуру расчета средней можно упростить и облег­чить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или уве­личить на число А, то средняя арифметическая соответст­венно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значении вариантов и частот. Наибольшее упрощение достига­ется, когда в качестве А выбирается значение одного из цен­тральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в каче­стве i - величина интервала (для рядов с одинаковыми интерва­лами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от ус­ловного нуля» или «способом моментов».

Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый ва­риационный ряд распределения новых вариантов (х₁).

Тогда новые варианты будут выражаться: а их новая средняя арифметическая m₁ - момент первого порядка — формулой и будет равна средней из первоначаль­ных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.

Для получения действительной средней надо момент первого порядка от, умножить на i и прибавить А:

(5.8)

=

Данный способ вычисления средней арифметической из ва­риационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Расчет средней арифметической по способу моментов иллю­стрируется данными табл.5.4

Таблица 5.4.