Силовые факторы в элементах вращающегося ротора.

Распре­деление давления на элементы ротора зависит от его размеров, угловой скорости и формы. Распределение давления необходимо знать для расчета технологических параметров процесса и для расчета ротора на прочность.

В роторе, начинающем вращение с переменной угловой скоростью ω_var (где 0< ω_var < ω) относительно своей оси, поверхность находящейся в нем жидкости вначале приобретает форму параболоида вращения.

На рис. 157 показано сечение вращающегося ротора, вначале вращения частично заполненного жидкостью.

Рис. 157. Схема к определению давления жидкости на стенки вращающегося ротора.

Проведя касательную к параболе в точке А, из прямоугольника сил,

действующих на элементарный объем жидкости, находим:

,

где - центробежная сила, действующая на элементарный объем жидкости;

- сила тяжести, действующая на элементарный объем жидкости;

- величина бесконечно малого объема жидкости (т.е. объем бесконечно тонкого кольца жидкости на уровне точки А).

Из уравнения касательной dy = tgαdx можно записать: .

Откуда:

Проинтегрировав это выражение, получим . Постоянную интегрирования С находим при х = 0, C= h₀; однако h₀ в данном случае мало и его не учитываем. Окончательное выражение , описывающее сечение свободной поверхности вращающейся жидкости плоскостью xy является уравнением параболы относительно оси вращения «y». Следовательно, свободная поверхность вращающейся жидкости вначале раскрутки ротора является параболоидом вращения.

Очевидно, что при х = r_рт давление максимально. Давление уменьшается по параболическому закону до нуля на внутренней поверхности параболоида. Определим давление р_с обрабатываемой среды на внутреннюю цилиндрическую стенку вращающегося барабана вертикальной центрифуги и на граничащие с ним участки нижнего днища и верхней кольцевой крышке см. рис 158.

Рис. 158. Расчетная схема к определению давления на стенки ротора центрифуги при его вращении с рабочей угловой скоростью ω:

S_R – расчетная толщина цилиндрической стенки ротора;

R_ср – срединный радиус цилиндрической стенки ротора;

r_рт – внутренний радиус цилиндрической стенки ротора;

r_ж - внутренний радиус цилиндрической поверхности кольца жидкости во вращающемся с рабочей угловой скоростью ω роторе;

r_кольца – радиус круглого отверстия в крышке ротора; r_ж =r_кольца .

Будем считать, что при рабочей угловой частоте вращения барабана центрифуги, жидкость по мере раскрутки барабана принимает форму параболоида вращения. При достижении угловой скоростью вращения значения рабочей угловой скорости ω параболоид вращения практически преобразуется в коаксиальное вращающееся цилиндрическое кольцо жидкости с внешним радиусом, равным r_рт и внутренним радиусом r_ж равным радиусу r_кольца верхней кольцевой крышки. Это объясняется тем, что все излишки жидкости, находящиеся вне объёма упомянутого цилиндра, будут выброшены из вращающегося барабана при достижении угловой скоростью значения ω.

Искомое давление р_с обрабатываемой среды, обусловленное ее вращением (рис.158), найдем интегрированием элементарных составляющих давления от вращения элементарных бесконечно тонких единичных слоев жидкости в радиальном направлении в пределах от r_ж до r_рт. Обозначим элементарный объем dV бесконечно тонкого единичного цилиндрического элемента обрабатываемой среды толщиной dr,высотой и шириной равными 1 и 1 с радиусом вращения r:

dV=dr·1·1= dr,

т.е. dV=dr,

тогда

Эту зависимость в практических расчетах приводят к виду:

, (С)

где  условный коэффициент заполнения барабана обрабатываемой средой.

Определим полное усилие Р_кр на верхнюю кольцевую крышку и нижнее плоское днище. Выделим элементарное бесконечно малое кольцо верхней крышки радиуса r и шириной dr. Сила, обусловленная давлением жидкости на это кольцо (в соответствии с законом Паскаля) равна:

Полное усилие на верхнюю кольцевую крышку и нижнее плоское днище:

или .

Определим напряжения, действующие в гладких цилиндрических участках сплошных (неперфорированных) роторов центрифуг (вне краевых зон в местах сопряжений днищ и крышек роторов с их цилиндрическими оболочками). В общем случае цилиндрические обечайки роторов вне краевых зон находятся под совместным действием распределённых по поверхности инерционных нагрузок от собственной массы цилиндрической обечайки вращающегося ротора р_м и массы обрабатываемой суспензии  давления p_c=0,5 _ж ω ²(r_рт²- r_ж²) (формула (С)).

Справедливости ради необходимо отметить, что при строгих расчетах давления обрабатываемой среды р_с в центробежном поле на цилиндрическую стенку сплошного ротора со стороны этой среды для случая расслоения суспензии на слой осадка плотностью ₀ и слой фугата с плотностью _ф , должно определяться по формуле: ,

где r_{о –} радиус границы раздела между слоем осадка и слоем фугата.

Но в инженерных (приближенных) расчетах в случаях, когда значения ₀ и _ф соизмеримы и отличаются друг от друга незначительно, под р_с принимают некоторое усреднённое давление и оценивают его по формуле (С).

Определим для гладких участков цилиндрической обечайки вращающегося ротора нормальные к боковой поверхности распределённые внутренние нагрузки, которые можно рассматривать как внутреннее давление, растягивающее осесимметричную обечайку. Отметим, что определение дополнительных краевых сил Q_о и краевых моментов М_о в узлах сопряжений элементов ротора в краевых зонах, является предметом решения краевой задачи и будет рассмотрено в приложении к разделу «Центрифуги и сепараторы: Приложение 2 «Прочностной расчет роторов центрифуг».

Определим центробежную нагрузку от собственной массы вращающегося совместно с ротором элемента единичной площадки боковой поверхности обечайки ротора р_м:

p_м = m_э ω ² R_ср,

где m_э= _м S_R1 1 – масса элемента единичной площадки боковой поверхности обечайки;

_м - плотность конструкционного материала обечайки;

S_R – номинальная расчетная толщина стенки обечайки ротора;

R_ср = r_рт+0,5S _R; или R_ср ≈ r_рт .

Тогда р_м = _м S_R ω ² r_рт .

Для определения мембранных напряжений воспользуемся основным уравнением мембранной теории оболочек – уравнением Лапласа:

,

где р- внутреннее избыточное давление:

р = р_с+ р_м=0,5 _ж ω ²(r_рт²- r_ж²)+ _м S_R ω ² r_рт ;

R_t и R_m – главные радиусы кривизны цилиндрической оболочки, соответственно кольцевой и меридиональный;

σ _t и σ_m – соответственно кольцевое и меридиональное мембранные напряжения во вращающемся цилиндрическом роторе. Величиной радиального напряжения σ_r пренебрегаем вследствие его малости.

Для цилиндра , тогда уравнение Лапласа преобразуется к виду:

или ;

,

где –условный коэффициент (степень заполнения ротора).

Определим меридиональное напряжение σ_т в цилиндрической обечайке ротора. При вращении ротора с рабочей угловой частотой ω, в его цилиндрической обечайке возникает растягивающее напряжение, обусловленное силой Р_кр, определяемой по формуле (D),т.е.

Сравнение величин главных напряжений σ_t и σ_m указывает на то, что σ_t >σ_m.

Прочностные расчёты обычно основываются на 3-й теории прочности – теории наибольших касательных напряжений, в соответствии с которой σ_экв =σ₁-σ₃, где σ₁- наибольшее, а σ₃ –наименьшее главные напряжения. В рассматриваемом случае σ₁= σ_t,

σ₃= σ_r≈0, σ_экв= σ_t. Условие прочности примет вид:

σ_t [σ].

Подставим в условие прочности значение σ_t и решим полученное выражение относительно номинальной расчетной толщины цилиндрической стенки S_R ротора для предельного значения неравенства, т.е. для условия σ_t=[σ] :

,откуда

Из этого уравнения, решив его относительно ω, получим значение допускаемой угловой скорости [ω] для сплошного цилиндрического ротора по условиям прочности:

.

Обозначим:

ω r_рт = - линейная окружная скорость цилиндрической обечайки ротора на радиусе r_рт;

_м ω ² r_рт² = _м ²=σ₀ - составляющая кольцевого напряжения, обусловленная действием распределённой центробежной силы р_м от собственной массы цилиндрической обечайки вращающегося ротора;

-λ отношение плотностей разделяемой среды и плотности материала ротора.

Тогда

.

Полная исполнительная толщина стенки S ротора принимается по соотношению S ≥S_R+c

Отметим, что физический смысл выражения характеризует соотношение напряжения σ₀ в стенке пустого (не заполненного средой) вращающегося цилиндрического ротора и допускаемого напряжения [σ], т.е. является для рассматриваемой силовой схемы коэффициентом запаса или критерием прочности незаполненного вращающегося цилиндрического ротора.

Преобразуем выражение

,

где

Ne- критерий Ньютона;

ƒ=[σ]S_R² – допускаемая внутренняя сила, приходящаяся на сечение S_R²;

m= _м S_R³ – масса элемента стенки ротора объемом S_R³;

ℓ=S_R – линейный размер.

С учетом проведённого преобразования выражение для определения S_R может быть записано в виде:

Для обеспечения прочности незаполненного цилиндрического ротора необходимо, чтобы Ne >1, при этом кольцевое и эквивалентное напряжения не должны превышать [σ]. При Ne <1 условие прочности не удовлетворяется при любой толщине стенки ротора S_R.

Представляет интерес оценка предельного значения фактора центробежного разделения Fr'_пред, при котором обеспечивается прочность конструкционного материала ротора. Известно, что для пластичного материала опасным является достижение наибольшим напряжением значения предела текучести ,т.е. σ_t = . Из полученного ранее выражения

находим откуда ;

Анализ полученного выражения показывает, что при заданных физико-механических характеристиках конструкционного материала ротора наибольшее значение Fr' достигается в центрифугах с роторами малого диаметра, т.е. в трубчатых центрифугах при r_рт ≤100мм.

Поскольку роторы центрифуг могут иметь кроме цилиндрических и плоских участков также и конические участки, определим напряжения в гладких частях (вне краевых зон) конических участков сплошных (неперфорированных) роторов центрифуг. Для этого воспользуемся , как и в случае цилиндрического ротора, методами безмоментной теории осесимметричных тонкостенных оболочек вращения.

В конической оболочке (см. расчётную схему) наибольшим мембранным напряжением будет кольцевое напряжение . Его максимальное значение будет достигнуто в наиболее широком месте раскрытия конуса. Обозначим внутренний радиус параллельного круга в этом сечении R_p. Выделим текущую точку М на срединной поверхности гладкого участка конического днища и восставим нормаль в этой точке к конической поверхности .Рассмотрим систему сил, действующую на элемент конической поверхности вращающегося ротора в точке М.Давление среды в этой точке р_с создаёт инерционную нагрузку на стенку ротора по направлению нормали к конусной поверхности в точке М. Кроме того, в точке М будут действовать силы инерции массы стенки конической оболочки в радиальном направлении, где R – радиус параллельного круга, соответствующий положению текущей точки М.

Спроецируем поверхностные инерционные силы на направление нормали. Суммарное давление в направлении нормали:

, где S_RK – номинальная расчётная толщина стенки конуса, α– половина полного угла раскрытия конуса. Кроме того, для тонкостенных осесимметричных оболочек, каковой является конический участок ротора центрифуги, можно с малой долей погрешности перейти к текущему внутреннему радиусу R_вн соответствующему положению второго главного радиуса кривизны в точке М, т.е. R_t.

Для расчёта напряжений воспользуемся основным уравнением безмоментной теории осесимметричных тонкостенных оболочек – уравнением Лапласа:

.

Первый главный радиус кривизны R_m в точке М равен ∞, следовательно отношение В этом случае уравнение Лапласа упрощается и приводится к виду:

.

Выразим значение R_t через величину R_вн, т.е. с учетом принятых обозначений решим уравнение Лапласа относительно σ_t:

Решая первое уравнение относительно получим:

.

Согласно III-й теории прочности

.

Развернем это условие прочности:

.

Решая полученное выражение относительно S_RK, получаем:

где R_р- максимальный радиус параллельноко круга в гладкой части конического днища.

Попутно отметим, что в полученных формулах для конических оболочек коэффициент ψ является некоторой условной величиной, отличающейся от величины степени заполнения цилиндрического ротора.

Полная исполнительная толщина стенки конической оболочки ротора (вне краевых зон) принимается с учетом соотношения S_K ≥S_RK+c, где S_K – полная исполнительная толщина стенки, с – прибавка к номинальной рабочей толщине стенки.

Все приведенные выше расчетные схемы применимы к сплошным роторам осадительных центрифуг. При наличии в роторах перфорации (фильтрующие центрифуги), это обстоятельство необходимо учитывать при прочностных расчетах, поскольку перфорация ослабляет обечайки роторов и уменьшает их массу. Наличие перфорации при проведении прочностных расчетов учитывают введением коэффициента уменьшения допускаемого напряжения:

,

где d₀ – диаметр отверстий перфораций; t₀ – шаг между отверстиями.

Для учета уменьшения массы перфорированных роторов вводится коэффициент перфорации К_п, зависящий от расположения отверстий. При расположении отверстий по вершинам квадратов: При шахматном расположении отверстий (по вершинам равносторонних треугольников): В этом случае номинальная расчетная толщина стенки цилиндрического перфорированного ротора определяется по формуле: .

Для перфорированного конического участка ротора номинальная расчетная толщина стенки определяется по формуле:

В практике проектирования центрифуг номинальную расчетную толщину плоского борта крышки ротора или плоского днища S_Rпл в соответствии с рекомендациями моментной теории вращающихся оболочек принимают по соотношению: S_Rпл =1.5S_R, где S_R – номинальная расчетная толщина цилиндрической стенки ротора.