Расчет барабанных измельчителей.

Движение мелющих тел во вращающемся барабане.

Характер движения мелющих тел во вращающемся барабане зависит от его угловой скорости. При небольшой частоте вращения мелющие тела, например шары, увлекаются барабаном в сторону его вращения (рис.77, поз.«а») , поднимаются и затем скатываются параллельными слоями вниз. Такой режим движения шаров называется каскадным. Измельчение материала, находящегося при этом в барабане, происходит раздавливанием и истиранием при перекатывании шаров.

Рис.77. Схемы движения шаров во вращающемся барабане.

При большой частоте вращения барабана ( рис.77, поз. «б») каждый шар в верхней зоне отрывается от слоя и свободно падает по параболической траектории, возвращаясь в «свой» слой с ударом (на рисунке шары соседних слоев для наглядности показаны светлыми и темными). Этот режим движения шаров называется водопадным. Измельчение материала происходит при этом режиме более эффективно, чем в предыдущем случае, и обусловлено воздействием удара, а также, частично, раздавливания и истирания.

Для определения условия отрыва и свободного полета шара массой m₁ его рассматривают как материальную точку, на которую действуют лишь массовые силы. Отрыв шара в точке А от стенки барабана с внутренним радиусом R происходит при условии m₁gcosα P_ц , где P_ц = m₁ω²R - центробежная сила шара, ω-угловая скорость барабана. Следовательно, условие отрыва и свободного падения, которое можно получить из уравнения m₁gcosα = m₁ ω ²R имеет вид:

причем угол отрыва должен удовлетворять условию 0<α<90⁰.

Критическая угловая скорость барабана (рад/с), при которой шар проходит через верхнее положение (α=0) , не отрываясь от корпуса:

где D - внутренний диаметр барабана, м.

Координаты точки А отрыва шара от стенок должны быть такими, чтобы шар обладал максимальным запасом кинетической энергии при ударе, т.е. высота его падения была максимальной.

Оптимальны угол отрыва и частота вращения барабана, при которых максимальны высота падения шара и, следовательно, его кинетическая энергия в момент удара. В системе координат x – y высота падения шара определяется ординатой y_в точки соприкосновения шара со слоем после падения.

Траектория движения шара при свободном падении при условии, что начальная скорость шара v направлена под углом α к горизонту, представляет собой параболу, по которой движется шар после отрыва от стенки в точке А. Уравнение этой параболы (при начале координат в точке А) описывается системой уравнений в параметрическом виде:

где t - время с момента отрыва шара (сек);

υ - окружная скорость барабана.

Подставив в систему уравнений значение υ:

υ = ωR =R = и решив уравнения совместно, получим уравнение параболы:

y = x · tgα – .

Точка B падения шара на поверхность барабана лежит на внутренней поверхности барабана ; запишем уравнение этой поверхности ( окружности ) с использованием обозначений на рис.77, поз.«б» :

(x – R sinα)² + (y + R cosα)² = R² .

Координаты точки В находим совместным решением двух последних уравнений:

x_B= 4Rsin·αcos²α;

y_В = - 4Rsin²α·cosα;

Для определения максимальной высоты падения шара y_{в max} приравниваем первую производную dy_в/dα = 0, т.е.

dy_в/dα = - 8R·sinα_опт·cos²α_опт + 4R·sin³ α_опт = 0, откуда

4R·sin³α_опт = 8R·sinα_опт·cos²α_опт или tg²α_опт = 2;

Следовательно,

т.е. составляет примерно 76% от ω_кр. Такое соотношение подтверждается практическими испытаниями промышленных мельниц.

Мощность электродвигателя барабанного измельчителя (на валу электродвигателя).

Примем следующие обозначения:

V_б – полезный (без учета футеровки) объем барабана;

D – диаметр барабана в [м];

ψ_б=n/n_кр – относительная частота вращения барабана; n – фактическая частота вращения [об/мин];

ρ_ш=4,9[т/м³] – плотность шаровой загрузки для стальных шаров;

φ= G_ш / (ρ_ш·V_б) – доля объема барабана, занятая шарами;

где G_ш – масса шаровой загрузки [т]; ρ_ш - насыпная плотность шаровой нагрузки, ρ_ш

К_бр – коэффициент, учитывающий форму брони (Кбр=1÷0,92);

К_м=1+0,25(ρ_м/ρ_ш) – коэффициент, учитывающий плотность материала ρ_м;

η_пр – КПД привода мельницы (промышленные рекомендации); тогда

Производительность шаровых мельниц [т/ч].

Производительность зависит от многих, часто трудноучитываемых, факторов. По этой причине в основном используются эмпирические формулы применительно к определенным продуктам измельчения. В общем случае Q = ƒ(ω, R, dн/dк, m, φ, σ…),

где ω – угловая частота вращения барабана;

R – радиус барабана;

m – масса шара;

φ – коэффициент заполнения барабана;

σ – прочность измельчаемого материала.

Большинство эмпирических формул получено в предположении минимальных размеров мельниц и минимальных энергозатрат на единицу готовой продукции при условии максимальной производительности.

Расчет силовых нагрузок на барабан.

Расчет производится для двух состояний барабанного измельчителя: статическом (при неподвижном барабане) и динамического (при вращении барабана).

При неподвижном барабане силу тяжести корпуса барабана с футеровкой G_к суммируют с силой тяжести загрузки (мелющих тел и измельчаемого материала) G_з:

G_з = m_з∙g = 1,14∙ m_м ∙g ,

где m_з – масса загрузки;

m_м – масса мелющих тел;

m_{изм.матер} – масса измельчаемого материала,обычно составляет 14% от m_м ,т.е.

m_{изм.матер} = 0,14m_м

m_з = m_м + m_{изм.матер}

m_з = 1,14∙m_м = 1,14∙π∙R∙L∙ρ∙φ3∙μ ,

где L – длина барабана;

R – внутренний радиус барабана;

ρ – плотность материала мелющих тел (ρстальн. шаров = 7,8 т/м³,

ρгальки = 2,5 т/м³, ρчугун. шаров = 7,5 т/м³);

φз = Fз/Fб – степень заполнения сечения барабана загрузкой; φз =0,26÷0,32;

μ – коэффициент неплотности загрузки (μшаров = 0,57; μстержней = 0,78).

Равнодействующую этих двух сил - G_к и G_з обозначим P_o; P_o = G_к + G_з;

При расстоянии между опорами барабана l и равномерном распределении нагрузки по длине ее интенсивность q_o = P_o/l.

При расчете опорных реакций и построении эпюры изгибающих моментов принимают в расчет сосредоточенные силы от веса венцовой шестерни и днищ. Учитывается также окружное усилие, на венцовой шестерне, возникающее в момент пуска мельницы и действующее в плоскости этой шестерни. Подвенцовая шестерня располагается таким образом, чтобы окружное усилие на венцовой шестерне было направлено, в основном, вверх и частично разгружало опоры барабана. Окружное усилие рассчитывают через крутящий момент на барабане: Мкр = N∙η/ω.

Корпус барабана рассчитывают по приведенному моменту с учетом изгиба и кручения. Допускаемое напряжение выбирают по статическому нагружению. Момент сопротивления поперечного кольцевого сечения корпуса (без футеровки) рассчитывают с учетом ослабления его отверстиями под болты и лазы, если последние попадают в опасное сечение. Корпуса трубных мельниц проверяют на устойчивость при изгибе в точках сжатия.

Болты фланцевых соединений между корпусом и торцевыми крышками мельниц рассчитываются по условию нераскрытия стыка с учетом совместного действия изгибающего и крутящего моментов.

При вращении барабана на его корпус действует сила тяжести лишь той части загрузки, которая вращается в плотном (“приведенном”) слое вместе с корпусом до момента отрыва мелющих тел и начала их свободного падения. Центральный угол δ_о вращения плотного “приведенного” слоя вместе с барабаном (угловой путь) как показывают многочисленные исследования, равен 2π/3, т.е. δ_о = 2π/3.

Таким образом, время полного цикла оборота загрузкит складывается из времени t_δ подъемного движения загрузки в плотном “приведенном” слое вместе с барабаном и времени tn ее падения по баллистическим траекториям, т.е.

T = t_δ + t_n.

За один оборот барабана может быть совершено несколько циклов оборота загрузки.

При постоянной угловой скорости барабана ω[рад/сек] время t_δ можно определить как отношение углового пути δ₀ к угловой скорости ω, т.е.

Время падения t_n шара по параболической траектории определим из следующего условия: отрыв шаров из верхней точки плотного слоя происходит при угле α₀, определяемым из уравнений для условий отрыва шаров при среднем радиусе вращения плотного слоя R₀≈0,863R (установлено экспериментально на основании многочисленных исследований).

Подставляя значение R₀ в исходные уравнения:

получаем:

Преобразуя и решая совместно полученную систему уравнений, получаем:

Откуда α₀ ≈ 60°.

Зная угол отрыва α₀ в конце подъема плотного (“приведенного”) слоя и используя параметрическое уравнение движения шара по параболической траектории в виде xв₀ = υ₀·t_п · cosα₀ (закон движения шара в горизонтальном направлении), где t_п – время падения шара, решим его относительно t_п:

В окончательном виде:

T = t_δ + t_п = 2,1/ω + 1,73/ω = 3,83/ω.

Силу тяжести той части загрузки, которая движется в плотном (“приведенном”) слое вместе с барабаном можно найти через отношение времени tб к суммарному времени Т цикла оборота загрузки:

m_δ = m_з · t_δ/T = m_з · 2,1/3,83 ≈ 0,55·m_з .

Вес загрузки, воспринимаемый корпусом барабана и его опорами:

G_δ = g·m_δ = 0,55·g·m_з= 0,55·1,14· m_м·g = 0,627· m_м·g .

Р_и – центробежная сила от массы загрузки, движущейся вместе с барабаном:

Р_и = m_δ· ω ²·R , но

тогда Р_и = 3,55·m_м = 0,362· m_м·g .

При силе инерции, направленной под углом 60° к вертикальной оси (см. рис. 76) горизонтальная Рх и вертикальная Ру составляющие равнодействующей Ри нагрузки:

Р_x = Р_иx = Р_и·cos30º ; Ру = Риу + G_δ + G_к = Р_и·cos60º+ G_δ + G_к .

При расчете барабана на прочность необходимо принимать во внимание знакопеременные нагрузки, динамические нагрузки. Поэтому при расчете принимают заниженные допускаемые напряжения в 2÷3 раза. В частности,при изготовлении барабана из Ст.3 принимают заниженные допускаемые напряжения 36-46 МПа .