Тема 5. Доказательство и опровержение

5.1. Понятие доказательства, его структура и разновидности

Доказательством называется логическая форма, в которой происходит обоснование истинности одних мыслей с помощью других, истинность которых уже установлена.

Доказательство имеет общие черты с умозаключением. И в доказательстве, и в умозаключении совершается переход от одних мыслей к другим. Но, если в умозаключении мы идем от истинных суждений к новому суждению, то в доказательстве мы стремимся обосновать истинность нового суждения, опираясь на уже известные истины. Умозаключая, мы отвечаем на вопрос "что следует из истинных мыслей"; доказывая - на вопрос "верна ли эта мысль и почему она верна". Ответ на последний вопрос предполагает использование умозаключения (иногда совокупности умозаключений), которое становится, таким образом, компонентом доказательства.

Структура доказательства определяется тремя вопросами:

1. что доказывается?

2. чем доказывается?

3. как доказывается?

То, что доказывается, называется тезисом доказательства.

То, чем (с помощью чего) доказывается тезис, называется аргументами или основаниями доказательства.

То, что раскрывает логическую связь между тезисом и аргументами, называется демонстрацией.

Например, в доказательном рассуждении: "Число 10 делится на 2, поскольку 10 - четное число, а четные числа делятся на 2" первое суждение является тезисом, два последующих - аргументами. Способом демонстрации в нашем примере является умозаключение по первой фигуре простого категорического силлогизма.

В качестве тезиса может выступать как отдельное суждение, так и совокупность суждений. Но в любом случае тезис находится в центре доказательства. Все, что есть в доказательстве, связано с тезисом.

Аргументами доказательства могут быть суждения трех типов.

1. Суждения о непосредственно наблюдаемых фактах. Например, доказывая тезис "Лето наступило", мы имеем право сослаться на такие доступные чувственному восприятию факты, как зелень деревьев, жаркую погоду, очереди за квасом.

Следует заметить, что использование фактуальных (эмпирических) суждений в доказательствах сопряжено с известными трудностями. Даже если оставить без внимания доводы против доверия органам чувств, выдвинутые еще античными философами-скептиками, несомненно, надо признать, что одни и те же факты разными людьми могут отражаться и интерпретироваться различным образом в силу субъективности их восприятия, из-за использования различных способов наблюдения и т.д. Поэтому оценка истинности суждения о факте в конкретных доказательствах часто является предметом ожесточенных споров, разрешение которых, однако, не находится в компетенции логики, которая, признавая суждения о фактах разрешенными аргументами, предоставляет спорящим сторонам самим определяться в вопросе об их истинности.

2. Суждения, являющиеся результатами предшествующих доказательств. Например, доказанную ранее мысль о наступлении лета мы можем использовать в другом доказательстве уже в качестве аргумента: "в железнодорожных кассах - большие очереди, так как наступило лето, а летом многие люди едут на юг". Таким же образом в науке при доказательстве новых гипотез делаются ссылки на доказанные ранее законы и теоремы.

3. Суждения, считающиеся истинными в силу их самоочевидности или в силу договоренности считать их истинными. Самоочевидно истинные суждения называются трюизмами. В доказательствах трюизмы присутствуют обычно неявно, но именно они иногда цементируют доказательство и придают ему убедительную силу. Представим ситуацию, в которой преступник, убивший топором человека и оставивший на топорище отпечатки своих пальцев, апеллирует к суду со следующим оправданием: «Действительно, я стоял рядом с потерпевшим с топором в руках, но затем топор неожиданно вырвался из моих рук, взлетел в воздух и , совершив несколько пируэтов, раскроил потерпевшему череп». Понятно, что в данной ситуации судьба преступника будет зависеть от того, верит ли судья в чудесные деяния барабашек или он , подобно следователю и прокурору, сочтет за аргумент самоочевидное для всех людей (кроме тех, кто немного «ку-ку») мнение : «Без воздействия извне импульса энергии предмет не может совершать движение».

В науке к разряду аргументов третьего вида относятся аксиомы. Они не обосновываются ни эмпирически, ни путем логического выведения из других более общих положений. Признание их истинности - результат договоренности внутри научного сообщества. Конечно, не всякое суждение может войти в систему аксиом. Для этого оно, по крайней мере, должно соответствовать двум принципам , сформулированным Д.Гильбертом: 1) не противоречить другим, принятым ранее аксиомам ( принцип непротиворечивости ); 2) дополнять ранее принятые аксиомы до системы, из которой выводимы все истинные положения, сформулированные на языке теории (принцип полноты). После того, как система аксиом сформулирована, любая из аксиом может быть использована как аргумент в научном доказательстве.

Доказательства делятся на строгие и нестрогие в зависимости от того, какие умозаключения являются содержанием демонстрации.

В строгих доказательствах связь между тезисом и аргументами устанавливается с помощью необходимых умозаключений (дедукции или полной индукции).

В нестрогих доказательствах используются вероятностные умозаключения (неполная индукция или аналогии). Поскольку все науки за исключением математики и логики используют эмпирические обобщения по схемам неполной индукции, постольку вполне строгие доказательства даже в науке встречаются не столь уж часто.

Доказательства также можно различать по способу обоснования истинности тезиса.

Прямые доказательства - доказательства, в которых тезис обосновывается путем его прямого выведения из найденных аргументов. Приводившиеся выше примеры доказательных рассуждений являются примерами прямого доказательства.

Непрямые доказательства - доказательства, в которых истинность тезиса обосновывается путем установления ложности суждений, находящихся в определенном отношении с тезисом.

Наиболее известны две разновидности непрямого доказательства.

Апогогическое (от древнегреч. – «путь в обход» ) доказательство - доказательство тезиса путем установления ложности антитезиса, то есть суждения, противоречащего тезису. Более известное название этого доказательства – «доказательство от противного".

Пример апогогического доказательства: "Иванов - студент (тезис). Если бы он не был студентом (антитезис), то он не мог бы играть в студенческом театре, а он играет в этом театре". Нетрудно заметить, что демонстрацией апогогического доказательства является умозаключение modus tollens условно-категорического силлогизма и вывод по закону исключенного третьего: антитезис ложен, а поскольку из двух противоречивых суждений одно обязательно истинно, – тезис истинен.

Разделительное доказательство - доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается путем установления ложности суждений, альтернативных тезису.

Пример разделительного доказательства: "Окно разбил Иванов, потому что из всего класса только трое способны на такое: Иванов, Петров, Сидоров. Петров и Сидоров в этот день в школе не были".