lin2011

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания

Начинайте каждое занятие с изучения лекции. При этом:

вначале внимательно прочтите определения и осознайте смысл используемых терминов

затем прочтите формулировки теорем, которые задают свойства изучаемых объектов

разберите доказательства теорем и выводы формул

в завершение работы прочтите всю лекцию еще раз, чтобы убедиться, что теоретический материал освоен.

Следующий этап работы – выполнение заданий практикума.

каждую задачу попробуйте решить самостоятельно

в случае неудачи посмотрите указание и вновь повторите попытку

в случае повторной неудачи внимательно разберите приведенное решение

если вы решили задачу самостоятельно (во всяком случае, ваш ответ оказался верным), все равно обязательно прочтите решение, данное в учебном курсе – это поможет вам проверить правильность примененного метода решения

закончив решение всех задач практикума, обязательно вернитесь к тем из них, которые не получились в первый раз, и попробуйте вновь самостоятельно решить их.

При выполнении домашнего задания используйте материал лекции и практикума.

4

1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1.МАТРИЦЫ

1.1.1.Матрицы. Операции над матрицами

Определение матрицы

1.

Матрицей А размера m n

называется таблица из т·п чисел

a11a12 ...a1n

Aa21a22 ...a2n

.................

am1am2 ...amn

Часто для краткости пишут А = ||aij||. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Индексы у элементов матрицы указывают расположение этого элемента в таблице: первый индекс – номер строки, в которой находится элемент, а второй – номер столбца. Например, элемент а23 находится на пересечении второй строки и третьего столбца:

a11a12 a13...a1n a21a22 a23 ...a2n

.................

am1am2am3...amn

Элементы а11, а22, а33, … называются главной диагональю матрицы

a11...............

......a22 .........

............a33 ...

...................

Если матрица А имеет размер n n, то такую матрицу называют квадратной

матрицей порядка п.

Две матрицы одинакового размера А = ||aij|| и B = ||bij|| называют равными

(при этом пишут А = В), если

aij bij ;i 1,..., m; j 1,..., n .

5

Упражнение 1.

Найти а12 и а23.

Решение.

Элемент а12 располагается в первой строке и втором столбце, то есть это второй элемент первой строки: а12 = -1.

Соответственно а23 – элемент, стоящий во второй строке и в третьем столбце;

а23 = -3.

Упражнение 2. Даны матрицы

При каких и А=В?

Решение.

У равных матриц должны быть равными соответствующие элементы. Для элементов, заданных численно, это условие выполняется: a12 = b12 = 1,

a22 = b22 = 3. Поскольку b11 = 4, a a21 = -2, для равенства матриц А и В должны выполняться условия:

2 42 .

Следовательно, = ±2, = -2.

Ответ: = ±2, = -2.

Сумма матриц

Суммой двух матриц одинакового размера m n А = ||aij|| и B = ||bij|| называют матрицу С =

6

Пример 1.

Найти А+В.

Решение.

По определению суммы матриц матрица С = А + В имеет размер 2 3 , и ее элементы являются суммами соответствующих элементов матриц А и В:

Следовательно, матрица С = А + В имеет вид:

Не забывайте, что складывать можно только матрицы одинакового размера!

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Легко проверить, что выполнены следующие свойства для операции сложения матриц:

1.А+В=В+А (коммутативность),

2.(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность),

3.А+0=А.

7

Иначе говоря, элемент cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

n

Пример 2.

Найти произведение матриц

Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т.е. в общем случае АВ не равно ВА. В приведѐнном выше примере матрицу В просто нельзя даже умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать.

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

Упражнение 5.

Доказать, что для любой квадратной матрицы А

АЕ=ЕА=А,

где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Доказательство.

Пусть А и Е – квадратные матрицы п-го порядка, В = АЕ.

10

Тогда bij = ai1e1j + ai2e2j + ... + aijejj + ... + ainenj.

Но eij = 0 при i, не равном j, a ejj = 1. Следовательно, bij = aij·1 = aij. Таким образом, все элементы матрицы В равны соответствующим элементам

матрицы А, то есть В = А.

Если матрица С = ЕА, то сij = еi1а1j + еi2а2j + ... + еiiаij + ... + еinаnj = 1·aij = aij

(учитываем, что eii = 1, eij = 0 при i, не равном j). Значит, С = А. Утверждение доказано.

Приведѐм ряд свойств произведений матриц.

1. (АВ)С=А(ВС)

Доказательство.

Пусть матрица A = ||aij|| имеет размер m p, а матрицы B = ||bij|| и C = ||cij|| имеют размер p n. Тогда для элементов матрицы А(В+С)= || ij|| имеем

11

Из определения произведения матриц вытекает, что АВ= || ij||, а АС= || ij||, т.е. А(В+С)=АВ+АС. Аналогично доказываем, что (В+С)А=ВА+СА.

Упражнение 1.6.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Вывести формулу для (А+В)2 (при натуральном п под Сn понимается произведение С·С·…·С).

Решение.

Используем свойства сложения и умножения матриц:

(А + В)2 = (А + В)(А + В) = (А + В)А + (А + В)В = А·А + В·А + А·В +В·В = = А2 + В·А + А·В +В2.

Заметьте, что результат может совпасть с

формулой сокращенного умножения

(А + В)2 = А2 + 2АВ + В2

только в том случае, если АВ = ВА. В общем случае это неверно!

Ответ: (А + В)2 = А2 + В·А + А·В +В2.

Упражнение7.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение АВ+2В.

Решение.

Используем свойство единичной матрицы (см. упражнение 5):

АЕ = ЕА = А.

Следовательно, В = ЕВ. Тогда АВ + 2В = АВ + (2Е)В = (А + 2Е)В (использовано свойство 2 произведения матриц).

Ответ: АВ + 2В = (А + 2Е)В.

Упражнение 8.

Пусть А,В и С – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение А2С +АС 2.

Решение.

12