lin2011

имеет единственное решение:

x y 0,

Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют

мнимым эллипсом).

2.Если собственные числа матрицы А 1 и 2 разных знаков, уравнение

(4) называется уравнением гиперболического типа.

в зависимости от знака с . Оба этих уравнения определяют гиперболу.

б) При ~ =0 получаем уравнение

с

эквивалентное двум линейным уравнениям:

задающим пару пересекающихся прямых.

3.Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (4) называется уравнением параболического типа, и его можно привести к одному из следующих видов:

а) к уравнению

y 2 2bx ,

определяющему параболу; б) к уравнению

задающему пару параллельных прямых;

в) к уравнению

y 2 0,

определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых); г) к уравнению

не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.

183

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

– уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы

a11x2 a22y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz

и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (6) можно привести к одному из следующих видов:

1. Если 1, 2, 3 – одного знака, уравнение (6) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

каноническое уравнение эллипсоида.

z

y

x

Рис. 4

Замечание. Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в

184

результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (7) становится уравнением сферы.

уравнение задает точку в пространстве;

пустое множество.

2.Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.6) приводится к каноническому виду:

каноническое уравнение однополостного гиперболоида,

каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

185

187

Матрица квадратичной формы 2х2 + 10ху + 12у2

2 5

А5 12 ,

характеристическое уравнение

По теореме Виета 1· 2 = -1 < 0, следовательно, уравнение гиперболического типа.

Ответ: уравнение гиперболического типа.

Задача 2.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ,

который оно определяет:

4х2 + 9у2 – 40х + 36у + 100 = 0.

Указание

В уравнении отсутствует произведение ху, следовательно, квадратичная форма его старших членов имеет канонический вид; поэтому коэффициенты при х2 и у2 являются собственными числами матрицы квадратичной формы.

Итак, 1 = 4, 2 = 9, 1· 2 > 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

Решение

В уравнении отсутствует произведение ху, следовательно, квадратичная форма его старших членов имеет канонический вид; поэтому коэффициенты при х2 и у2 являются собственными числами матрицы квадратичной формы.

Итак, 1 = 4, 2 = 9, 1· 2 > 0, следовательно, перед нами уравнение эллиптического типа.

Геометрические образы, определяемые уравнением эллиптического типа:

-эллипс;

-точка;

-пустое множество («мнимый эллипс»).

Для приведения уравнения к каноническому виду нужно исключить из него слагаемые. Содержащие первые степени переменных. Для этого преобразуем левую часть:

190

(4x2 40x) (9y2 36y) 100 0, 4(x2 10x) 9(y2 4y) 100 0,

4(x2 10x 25) 100 9(y2 4y 4) 36 100 0, 4(x 5)2 9(y 2)2 36.

у

у'

-2

x’

Рис. 13

Зададим параллельный перенос осей координат:

xx 5

yy 2.

Тогда в новых координатах уравнение примет вид:

Задача 3.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ,

который оно определяет:

32х2 + 52ху – 7у2 + 180 = 0.

Указание

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

-гипербола;

-пара пересекающихся прямых.

191

Решение

Собственные числа имеют разные знаки, значит, тип уравнения – гиперболический.

Геометрические образы, определяемые уравнением гиперболического типа:

-гипербола;

-пара пересекающихся прямых.

Заметим, что для данного уравнения нет необходимости искать явный вид преобразования координат, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Это связано с тем, что уравнение не содержит линейных членов, а его свободный член не изменится при преобразовании вида

Найденные собственные числа будут коэффициентами при х2 и у2 для канонического вида квадратичной формы. Следовательно, в соответствующей координатной системе уравнение примет вид:

каноническое уравнение гиперболы.

Ответ: уравнение гиперболического типа, канонический вид

Задача 4.

Привести уравнение к каноническому виду и указать геометрический образ,

который оно определяет:

7х2 + 60ху + 32у2 – 14х – 60у + 7 = 0.

Указание

Перед нами полное уравнение 2-го порядка, и для приведения его к каноническому виду потребуется провести оба преобразования координатных осей: поворот на такой угол, чтобы новые оси стали параллельными собственным векторам матрицы квадратичной формы (это преобразование квадратичной формы к каноническому виду), и параллельный перенос.

192