lin2011

Тем самым матрица, определенная равенством (3.3), действительно является обратной. Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что

нашлись две обратные матрицы А1-1 и А2-1. Тогда, умножив равенство

АА1-1 = Е

слева на А2-1, получим:

Отсюда, в силу того, что А2-1А = Е, вытекает равенство

А1-1 = А2-1.

Пример 3. Найдем обратную матрицу для

1 3 4 A 0 2 3 .

1 2 1

Для нахождения присоединенной матрицы найдем сначала все алгебраические дополнения:

Следовательно (напомним, что алгебраические дополнения для элементов строк в присоединенной матрице надо расположить в соответствующем столбце),

8 5 17 A 3 3 3 .

2 1 2

Поскольку |A| = 1· A11 + 0· A12 + 1· A13 = - 9, получаем:

43

Упражнение 2. Найти обратную матрицу для

1 0 4 A 2 2 3 .

1 0 1

Решение.

Проверим невырожденность матрицы А:

| A | 1 2 4 ( 2) 6 0,

следовательно, обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Упражнение 3. Доказать, что (АВ)-1 = В-1А-1.

Решение.

Пусть С = В-1А-1. Тогда, применяя свойство 1 произведения матриц, понятие единичной матрицы (лекция 1) и определение обратной матрицы, получим:

( AB)C A(BC) A(B(B 1 A 1)) A((BB 1) A 1) A(EA 1) AA 1 E; C( AB) (CA)B ((B 1 A 1 ) A)B (B 1( A 1 A))B (B 1E)B B 1B E.

Следовательно, матрица С = В-1А-1 удовлетворяет определению обратной матрицы для матрицы АВ. Значит, (АВ)-1 = В-1А-1.

44

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ

«Обратная матрица»

Задача 1.

Найти обратную матрицу для матрицы

А

1 1

2 4

и проверить выполнение условий А А-1 = А-1А = Е.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Убедимся, что матрица А – невырожденная. А = 1·4 - 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А-1 существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:

Применим способ вычисления обратной матрицы:

Не забудьте, что обратная матрица образована из алгебраических дополнений к элементам

транспонированной матрицы!

Найдем произведения А А-1 и А-1А:

Таким образом, найденная матрица А-1 отвечает определению обратной матрицы.

45

Задача 2.

Найти обратную матрицу для матрицы

1 2

А3 4 .

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Задача 3.

Найти обратную матрицу для матрицы

1 3 5 А 0 1 2 .

0 0 1

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:

46

Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует. Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Задача 4.

Найти обратную матрицу для матрицы

2 3 1 А 0 1 1 .

1 1 2

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

47

Задача 5.

При каких x, y, z матрица

1 4 x В 1 5 y 1 6 z

является обратной к матрице

2 2 3 А 1 1 0 ?

1 2 1

Указание

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Решение

Проверим невырожденность матрицы А:

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е. Найдем АВ:

1 0 2x 2y 3z

0 0 x 2y z

Для того, чтобы выполнялось условие АВ = Е, x, y, z должны быть решением системы уравнений

48

1 4 3 В 1 5 3 .

1 6 4

Проверим, будет ли равно единичной матрице произведение ВА:

Значит, при найденных значениях x, y, z В = А-1.

Ответ: x = -3, y = -3, z = 4.

1.2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.2.1. Системы с квадратной матрицей. Решение с помощью обратной матрицы.

Правило Крамера

Системы в матричном виде

Система уравнений вида

называется системой линейных алгебраических уравнений. Числа aij,

i = 1,...,m, j = 1,..., n, называются коэффициентами системы, bi, i = 1,..., m, –

свободными членами, а xj, j = 1,..., n, – неизвестными. Требуется по заданным коэффициентам системы и свободным членам найти решение системы, т.е. все такие числа х1,…, хп, которые удовлетворяют равенствам (4.1). Если таких чисел не существует, то систему называют несовместной, в противном случае (т.е. если существует хотя бы одно решение системы) ее называют

совместной.

Положим

Матрица А называется матрицей системы, b – столбцом свободных членов, х

– столбцом неизвестных. Из определения умножения матриц вытекает, что равенства (4.1) могут быть записаны в виде

49

Вычислим определитель матрицы А с помощью разложения по первой строке:

|A| = 1·(-3) + 2·(-3) + (-1)·3 = -12.

Таким образом,

Отсюда

Вычислим |A| и алгебраические дополнения к элементам матрицы А и найдем обратную матрицу:

Воспользуемся формулой (3):

51

Таким образом, х1 = х2 = -1, х3 = 1.

Правило Крамера

Из теоремы об обратной матрице следует, что равенство (4.3) может быть записано в виде

x |A1|Ab.

Следовательно,

(4)

1

xj |A|(b1A1 j ... bn Anj ), j 1,...,n.

Обозначим через j определитель матрицы, которая получается из А заменой j-го столбца на столбец свободных членов:

Разлагая этот определитель по j-му столбцу, будем иметь:

j = b1A1j + ... + bnAnj.

Тем самым равенства (4) могут быть записаны в виде

(5)

Таким образом, доказана

Теорема 4.1 (правило Крамера). Решение системы

Ax = b

с невырожденной квадратной матрицей А единственно и имеет вид (5).

Пример 2.

Найти решение системы

52