Основи теорії пружності (теорія деформації)

3.1. Вектор зміщення і деформований стан

Під дією зовнішніх сил або внаслідок зміни теплового стану пружне тіло змінює свої розміри і форму, тобто деформується.

Нехай тіло, як суцільне середовище, в початковому стані (до прикладання зовнішнього навантаження) займає в тривимірному евклідовому просторі деякий об’єм . Положення довільної точки тіла, яку на відміну від геометричної точки простору будемо називати матеріальною точкою, визначається радіус-вектором з координатами в декартовій системі координат .

Допустимо, що в результаті деякого зовнішнього впливу на тіло відбулося зміщення його точок і тіло зайняло новий об’єм (об’єми і можуть мати спільні точки). При цьому матеріальна точка зміститься в положення точки .

Вектор , який визначається початковим і кінцевим положенням матеріальної точки , називається вектором її зміщення (рис. 3.1).

Кожна матеріальна точка зміщується в деяку іншу точку , за винятком окремих точок, наприклад закріплених, які будуть спільними для об’ємів і . При цьому тіло, зайнявши новий об’єм , за допущенням, залишається суцільним середовищем. Тому координати точок об’єму , які залежать не тільки від зовнішнього навантаження, але й від точки , повинні бути неперервними і однозначними функціями координат , , точки в стані

. (3.1)

Будемо вважати, що функції (3.1) мають неперервні похідні по всіх змінних . Якщо при цьому якобіан , то рівняння (3.1) можна розв’язати відносно

Рис. 3.1

. (3.2)

Компоненти вектора зміщення на підставі (3.1), (3.2) можуть бути виражені або як функції , ,

, (3.3)

або як функції , ,

. (3.4)

Спосіб задання зміщень функціями (3.3), коли за незалежні змінні приймаються координати матеріальної точки в початковому стані , називається Лагранжевим. Він прослідковує історію руху матеріальної точки із положення в положення .

Інший спосіб руху суцільного середовища з допомогою функцій (3.4), в яких незалежними змінними є координати точок , називається способом Ейлера.

В теорії пружності застосовують спосіб Лагранжа, який дозволяє визначити зміщення фіксованої матеріальної точки , яке вона одержить з початкового положення внаслідок зовнішньої дії на тіло.

Перехід тіла з початкового стану в новий стан можливий і внаслідок зміщення тіла, як абсолютно твердого, тобто без зміни відстаней між його точками. Таке зміщення тіла називається жорстким зміщенням.

Якщо перехід тіла з початкового стану в новий стан відбувається внаслідок зміни відстаней між його точками, то новий стан називається деформованим.

Очевидно, що деформований стан тіла повністю визначається, якщо будуть відомі функції .

Деформований стан тіла, який визначається лінійними функціями , називається однорідним. Оскільки в цьому випадку функції лінійні, то будь-яка пряма або площина (чи їх частини) в стані тіла перейдуть в пряму або площину (чи їх частини) тіла в стані .

3.2. Тензор деформації

При неоднорідному довільному деформуванні тіла функції будуть нелінійними. Однак, в цьому випадку, в малому околі довільної точки тіла деформований стан може розглядатися як однорідний, тобто прямолінійні матеріальні елементи в околі деякої точки перетворюються в прямолінійні елементи деформованого стану околу точки .

Нехай в загальному випадку деформування тіла дві безмежно близькі точки і , відстань між якими в початковому стані (рис. 3.2), зміщуються в положення і стану . У результаті цього лінійний елемент , обмежений точками і , перетворюється в лінійний елемент , обмежений точками і .

Виразимо компоненти точок деформованого стану через відповідні компоненти недеформованого стану. З умови

(3.5)

визначаємо

, (3.6)

де – компоненти вектора зміщення точки .

Ступінь деформації відрізка залежить від різниці квадратів довжин і , які в розглянутих координатах мають вигляд

Рис. 3.2

; (3.7)

,

або

. (3.8)

Компоненти вектора , визначаються за формулами

. (3.9)

З урахуванням (3.9) вираз (3.8) можна записати у вигляді

. (3.10)

Оскільки ми розглядаємо малі деформації і відповідно малі зміщення , то із умов неперервності малими будуть похідні від компонент зміщення. Це дозволяє нехтувати квадратами або добутками похідних у порівнянні з похідними. Зауважимо, що це можна робити у випадку лінійної теорії пружності. У цьому випадку

(3.11)

Права частина (3.11) є квадратична форма змінних , , які визначають величину і напрям вектора . Цю квадратичну форму можна записати у вигляді

. (3.12)

Її коефіцієнти визначають симетричну матрицю третього порядку

, (3.13)

яка характеризує деформований стан в точці .

Порівнюючи праві частини (3.11), (3.12), знаходимо

; ; ;

; ; , (3.14)

або в символічному вигляді

. (3.15)

Співвідношення (3.14) або (3.15) називаються диференціальними залежностями Коші. Вони встановлюють зв’язок між компонентами вектора зміщення точки і коефіцієнтами квадратичної форми (3.12), які називаються компонентами тензора деформації. Зауважимо, що величини обчислюються в точці і не залежать від вибору точки . Ліва частина (3.11) інваріантна при перетвореннях системи координат. Тому на підставі відповідних теорем тензорного аналізу вираз є тензором другого рангу, який називається тензором малої деформації з матрицею .

Вияснимо геометричний зміст компонент тензора . Відносне лінійне видовження лінійного елемента позначимо через , тоді

або . (3.16)

Підставимо (3.16) в (3.12) і поділимо на

або , (3.17)

де ; – косинуси кутів, які утворює елемент з координатними осями , відповідно. Якщо розглядати малі деформації (), то з (3.17) одержимо

. (3.18)

Нехай лінійний елемент був паралельним координатній осі . У цьому випадку , а якщо , . Тоді з (3.18) одержимо

, (3.19)

де – діагональна компонента тензора , тобто одна із компонент , , . Таким чином, діагональні елементи матриці тензора малої деформації характеризують відносні лінійні видовження в напрямках відповідних координатних осей.

Розглянемо тепер два лінійних елементи і , які виходять з однієї точки і визначаються векторами і . Позначимо через кут, який вони утворювали до деформації. Тоді

. (3.20)

Рис. 3.3

Внаслідок деформації елемент перейде в елемент , а елемент в елемент (рис. 3.3). При цьому , . Кут між елементами , внаслідок деформації позначимо через , для якого

, (3.21)

де , – відносне лінійне видовження елементів і .

Оскільки ми розглядаємо малі деформації, то можна знехтувати величинамии , в порівнянні з одиницею та скалярним добутком . В цьому випадку формула (3.21) приймає вигляд

. (3.22)

Допустимо, що лінійні елементи , мали напрямки координатних осей , відповідно, тому .

Обчислимо значення величин, які входять в праву частину (3.22)

; ; ; ;

; (3.23)

.

Підставляючи (3.23) в (3.22), визначаємо

. (3.24)

Враховуючи в (3.24) співвідношення

;

,

одержимо при

. (3.25)

Позначимо , де – зсув прямого кута внаслідок деформації. Тоді

.

Для малих деформацій , тому

. (3.26)

Недіагональні елементи тензора деформації визначають зсуви прямих кутів між відповідними координатними осями.

Враховуючи (3.26), диференціальні залежності Коші можна записати у вигляді

; , . (3.27)