7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми

Якщо деформівне пружне тіло перебуває в умовах плоскої деформації внаслідок дії зовнішніх поверхневих сил, то основні рівняння теорії пружності (7.2) – (7.9) приймають вигляд:

диференціальні залежності Коші

; ; ; (7.25)

умови сумісності Сен-Венана

; (7.26)

диференціальні рівняння рівноваги

; ; (7.27)

граничні умови

; ; (7.28)

закон Гука

; ; . (7.29)

Введемо функцію напружень за формулами

; ; . (7.30)

Легко перевірити, що диференціальні рівняння рівноваги виконуються тотожно.

Із закону Гука (7.29) визначаємо

; ;

. (7.31)

Підставляючи (7.31) в умову сумісності (7.26), одержимо після певних перетворень

або . (7.32)

Співвідношення (7.32) можна записати так

, (7.33)

де – оператор Лапласа.

Таким чином плоска задача теорії пружності зведена до бігармонічного рівняння (7.32) або (7.33) для визначення функції напружень .

Граничні умови (7.28) приймають вигляд

;. (7.34)

Якщо розв’язок бігармонічного рівняння (7.32), який задовольняє граничним умовам (7.34), буде відомим, то компоненти тензора напружень визначаться за формулами (7.30), а компоненти тензора деформації – за формулами (7.31). Компоненти вектора зміщення можна визначити за формулами Чезаро, в яких компоненти тензора деформації визначаються із співвідношень (7.29), (7.30).

7.5. Плоска задача в декартових координатах

При розв’язуванні плоскої задачі для прямокутних пластин і довгих прямокутних смуг доцільно використовувати прямокутні координатні осі, які напрямлені паралельно до сторін пластини (рис.7.3). У цьому випадку граничні умови (7.34) на прямокутному контурі значно спрощуються.

Д

Рис. 7.3

ійсно, на вертикальних сторонах пластин, тобто при , маємо , і на цих сторонах умови (7.34) приймають вигляд

; . (7.35)

На поздовжніх ребрах пластини , , і умови (7.34) запишуться так

; . (7.36)

Розв’язок бігармонічної граничної задачі (7.32), (7.35), (7.36) становить значні математичні труднощі навіть при таких простих граничних умовах. Тому іноді звертаються до розв’язків оберненої задачі. Вибираючи певного вигляду бігармонічні функції, визначають, якому виду навантаження вони відповідають. Маючи набір таких розв’язків, шляхом їх лінійного комбінування можна встановити вигляд функції напружень, яка відповідає заданому конкретному навантаженню пластини.

Розв’язок з допомогою поліномів. У 1901 році Меланже запропонував задавати функцію напружень у вигляді поліномів різних степенів. Це дозволило одержати розв’язки деяких практично важливих задач.

Легко перевірити, що функція напружень, як поліном нульового і першого степеня, напружень не викликає.

Виберемо функцію у вигляді полінома другого степеня

, (7.37)

Рис. 7.4 а Рис. 7.4 б

який задовольняє бігармонічному рівнянню (7.32) при довільних значеннях , , . За формулами (7.30) знаходимо

; ; . (7.38)

Функція напружень визначає напружений стан, при якому компоненти тензора напружень в кожній точці пластинки однакові. Зовнішнє навантаження, що викликає такий напружений стан показано на рис. 7.4 а, б.