3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації

Якщо для пружного тіла компоненти вектора зміщення в кожній точці будуть відомі, то компоненти тензора деформації через диференціальні залежності Коші

(3.43)

визначаються однозначно.

Для розв’язання оберненої задачі, тобто задачі визначення трьох функцій за компонентами тензора деформації маємо шість рівнянь (3.43). Очевидно, що ця задача не може мати розв’язку, якщо на компоненти тензора деформації не накласти деякі додаткові умови.

Нехай в зайнятій тілом області , яку вважаємо однозв’язною, задані функції і необхідно визначити функції .

Введемо позначення . Кома, яка в правій частині розділяє індекси, символ диференціювання. Індекс зліва від коми – це індекс функції, а індекс справа – індекс змінної, по якій відбувається диференціювання. Кількість індексів справа від коми визначає порядок похідної.

Розглянемо вираз

. (3.44)

де – симетричний тензор малої деформації (), а – косометричний тензор малого повороту ().

Продиференціюємо співвідношення по змінній .

.

У результаті цього одержимо рівність

. (3.45)

Використовуючи (3.44), запишемо формулу для обчислення диференціалів від компонент вектора зміщення

. (3.46)

Проінтегруємо рівняння (3.46) по довільній кривій , яка не виходить за межі області

, (3.47)

де – сталі інтегрування, – змінна інтегрування.

Покладемо ( – координати фіксованої точки ) і обчислимо другий інтеграл в (3.47) за частинами

. (3.48)

Тут враховано, що

(3.49)

Підстановка (3.45) в (3.48) приводить до співвідношення

, (3.50)

за допомогою якого з (3.47) одержимо формулу Чезаро

. (3.51)

Ця формула дозволяє обчислити зміщення довільної точки тіла за відомими функціями .

Сталі , , які входять в (3.51), визначають довільне нескінченно мале жорстке зміщення тіла. Вони визначаються з умов закріплення тіла.

Зміщення довільної точки тіла повинні бути функціями її координат і не повинні залежати від шляху інтегрування . Тому підінтегральний вираз у формулі Чезаро (3.51) повинен бути повним диференціалом. З математичної точки зору умови незалежності інтеграла від вибору кривої має вигляд

. (3.52)

Стосовно формули (3.51) ці умови запишуться так

. (3.53)

Виконуючи в (3.53) диференціювання, одержимо

(3.54)

або

. (3.55)

При виведенні (3.55) враховано, що

(3.56)

Рівність (3.55) визначає ті додаткові залежності між компонентами тензора деформації, які виражають необхідні та достатні умови інтегрування (3.51). Вони називаються умовами сумісності Сен-Венана. Серед них є такі, що перетворюються тотожно в нуль або повторюються. Незалежних є шість. Їх можна одержати циклічною перестановкою при таких значеннях : , . Ці співвідношення утворюють дві групи диференціальних залежностей між компонентами тензора деформації

; ;

; (3.57)

; ;

. (3.58)

Умови сумісності (3.57) і (3.58) забезпечують неперервність деформації в кожній точці пружного тіла.

Якщо уявити, що до деформації тіло було умовно поділене на елементарні паралелепіпеди (виключаючи приповерхневі елементи), то внаслідок деформації ці паралелепіпеди змінять свої довжини ребер і кути між гранями. Якщо ці паралелепіпеди піддати деформації при довільних , то із деформованих паралелепіпедів не можна скласти суцільного тіла, яким воно повинне бути в дійсності. Між деякими елементами появляться зазори, а для інших із них не виявиться достатньо місця. Це означає, що компоненти тензора деформації не можуть бути довільними, а повинні задовольняти умовам (3.57), (3.58).

Якщо тіло обмежене однозв’язною областю , то умови (3.57), (3.58) не тільки необхідні, але й достатні, щоб шукані функції були однозначними, так як в цьому випадку інтеграл у формулі (3.51) не залежить від вибору шляху інтегрування.

У випадку багатозв’язного тіла, диференціальні залежності Сен-Венана є необхідними і достатніми умовами інтегрованості (3.51), і лише необхідними, але недостатніми умовами однозначності зміщень .