Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)

6.1. Основні рівняння теорії пружності

У попередніх розділах одержано основні рівняння теорії пружності, що визначають замкнену систему рівнянь, за допомогою якої можна визначити напружено-деформований стан тіла як результат зовнішньої дії на нього.

Спочатку запишемо загальну систему основних рівнянь для задач рівноваги пружного тіла, яка складає зміст того розділу теорії пружності, який називають статикою пружного тіла.

Деформований стан тіла повністю визначається тензором поля деформації або полем зміщень . Компоненти тензора деформації зв’язані зі зміщеннями диференціальними залежностями Коші (3.15)

. (6.1)

При цьому компоненти тензора деформації повинні задовольняти диференціальним умовам сумісності Сен-Венана (3.55)

, (6.2)

які є необхідними і достатніми умовами інтегрованості рівнянь (6.1).

Напружений стан тіла визначається тензором поля напружень . Шість незалежних компонент симетричного тензора повинні задовольняти трьом диференціальним рівнянням рівноваги (4.19)

. (6.3)

Компоненти тензора напружень і зміщення зв’язані шістьма рівняннями закону Гука (5.18)

, (6.4)

де .

У деяких випадках співвідношення закону Гука використовуються у вигляді (5.26)

. (6.5)

Тут .

Рівняння (6.1)-(6.5) називаються основними рівняннями статичних задач теорії пружності. Рівняння (6.1), (6.2) називають геометричними рівняннями, рівняння (6.3) – статичними, а рівняння (6.4) або (6.5) – фізичними.

До основних рівнянь, які визначають стан лінійно-пружного тіла в його внутрішніх точках, необхідно приєднати умови на його поверхні . Ці умови називаються граничними умовами. Вони визначаються або заданими зовнішніми поверхневими силами , або заданими зміщеннями точок поверхні тіла. У першому випадку граничні умови визначаються співвідношеннями (4.10)

, (6.6)

де – компоненти вектора поверхневої сили, – компоненти одиничного вектора , який визначає зовнішню нормаль до поверхні у розглядуваній її точці.

В іншому випадку граничні умови визначаються рівністю

, (6.7)

де – задані на поверхні функції.

Граничні умови можуть також мати мішаний характер, коли на одній частині поверхні тіла задані зовнішні поверхневі сили , а на іншій частині поверхні тіла задані зміщення

; . (6.8)

Можливі й іншого виду граничні умови.

6.2. Основні задачі статики пружного тіла

У залежності від виду граничних умов виділяють три типи основних задач теорії пружності.

Перша основна задача полягає у визначенні компонент тензора напружень у внутрішніх точках об’єму , який займає тіло, і компонент вектора зміщення внутрішніх точок та точок поверхні за заданими об’ємними і поверхневими силами.

Шукані дев’ять функцій повинні задовольняти основним рівнянням (6.3), (6.4) і граничним умовам (6.6).

Друга основна задача полягає у визначенні зміщень внутрішніх точок об’єму і компонент тензора напружень за заданими об’ємними силами і зміщеннями на поверхні тіла.

Шукані функції і повинні задовольняти основним рівнянням (6.3), (6.4) і граничним умовам (6.7).

Третя основна (мішана) задача полягає у визначенні за заданими на одній частині поверхні тіла поверхневими силами і заданими на іншій частині поверхні тіла зміщеннями , при заданих об’ємних силах, компонент тензора напружень і вектора зміщення , які задовольняють основним рівнянням (6.3), (6.4) при виконанні мішаних граничних умов (6.8).