2. Способи задання руху суцільного середовища

Нехай суцільне середовище займає об’єм , а – довільна його точка, яка у вибраній системі координат характеризується трійкою чисел або , . Для того, щоб задати рух точки , потрібно задати її координати як функції часу .

У випадку абсолютно твердого тіла відстані між точками не змінюються і тому його рух завжди можна розглядати як сукупність поступального і обертального рухів. У випадку деформівного твердого тіла для задання руху середовища потрібно задавати рух кожної його точки. Таку задачу розв’язати практично неможливо, тому для опису руху середовища використовують такі два підходи.

1.2.1. Точка зору Лагранжа на вивчення руху суцільного середовища. Виділимо із суцільного середовища конкретну точку, наприклад, таку, яка в початковий момент часу мала координати або . Тоді рівняння руху цієї точки можна записати у вигляді:

; ; ;

або . (1.1)

Рівняння (1.1) визначає рух суцільного середовища. Якщо в (1.1) зафіксовані, то ці рівняння визначають рух тієї точки, яка в момент часу мала координати . Якщо зафіксувати , а вважати змінними, то з (1.1) одержимо розподіл точок середовища в певний момент часу. При змінних і одержимо положення суцільного середовища в розглядувані моменти часу і співвідношення (1.1) будуть визначати рух суцільного середовища.

Основна задача механіки суцільного середовища полягає у визначенні функцій (1.1). Величини і при цьому називаються змінними Лагранжа.

Оскільки середовище неперервне, то функції (1.1) повинні бути неперервними за всіма змінними. Якщо при цьому якобіан перетворення відмінний від нуля

, (1.2)

то залежності (1.1) можна розв’язати відносно .

; ;

або . (1.3)

Співвідношення (1.1) прослідковують історію руху кожної конкретної індивідуалізованої точки середовища. Якщо уявити собі рух рідини і в деякий момент часу одну частинку рідини зафарбувати, то в процесі руху ми побачимо траєкторію руху індивідуалізованої точки.

Сукупність значень , , утворюють в просторі область , яку займає тіло в даний момент часу . Якщо координати , , розглядати як значення координат , , в деякий інший момент часу , то область зміни , , відповідає об’єму, який займає тіло в момент . У цьому випадку закони руху (1.1), (1.3) можна розглядати як взаємно однозначне і неперервне відображення областей і (рис. 1.2).

Як і будь-який рух, рух континууму завжди визначається по відношенню до деякої системи координат , , – системи відліку спостерігача. Ця система може вибиратися довільно, її вибір не залежить від спостерігача. На практиці вона часто зв’язана із Землею, але може бути зв’язана із Сонцем, зірками і т.п. За змістом введення вона може бути рухомою або нерухомою.

Рис.1.2. Рух континууму при , ,

Разом з тим, у випадку руху суцільного середовища необхідно ввести ще і супутню систему координат. Поряд з координатами , , , лагранжеві координати індивідуальних точок , , можна розглядати як інші координати цих же точок простору в області Відповідна система координат , , в цьому просторі утворює рухому деформівну криволінійну систему координат, яка називається супутньою. Так, якщо в початковий момент вибрати в суцільному середовищі деякі координатні лінії , , , які утворені точками суцільного середовища, то в наступний момент часу вони разом з точками континууму знову перейдуть в координатні лінії супутньої системи. Однак, якщо в початковий момент часу вони і були вибрані прямими, то в наступний момент часу вони, взагалі кажучи, будуть викривленими (рис. 1.3).

Рис. 1.3. , , – система відліку спостерігача, , , – супутня

система відліку

Таким чином, якщо розглядати систему координат, зв’язану з частинками суцільного середовища, то вона з плином часу буде змінюватися. Вибір такої системи в заданий момент часу підвладний досліднику, але в наступні моменти часу система йому не підвладна, оскільки вона “вморожена” в середовище і деформується разом з ним. Така система визначена нами як супутня система. Всі точки суцільного середовища нерухомі відносно супутньої системи координат, так як їх координати , , в цій системі залишаються незмінними. Але сама система рухається, розтягується, стискається, звивається. Поняття супутньої системи координат є узагальненням на випадок суцільного середовища власної системи координат твердого тіла в теоретичній механіці.

Крім поняття закону руху, для опису руху суцільного середовища необхідно ввести деякі інші поняття, зокрема поняття швидкості і прискорення точок суцільного середовища.

Якщо рівняння руху суцільного середовища (1.1) помножити відповідно на базисні вектори , , вибраної системи координат і додати, то одержимо векторне рівняння руху

, (1.4)

де .

Поняття вектора швидкості і прискорення індивідуалізованої точки вводиться так само, як і в теоретичній механіці

; . (1.5)

При цьому похідні в правих частинах (1.5) обчислюються при фіксованих .

Швидкість і прискорення точок визначаються відносно систем відліку. Очевидно, що відносно супутньої системи координат середовище перебуває у спокої, тому для кожної точки .

Компоненти векторів швидкості і прискорення індивідуалізованих точок визначаються за формулами

; (1.6)

; ; ; (1.7)

; (1.8)

; ; . (1.9)

Зауважимо, що співвідношення (1.7), (1.9) мають місце тільки в декартовій системі координат і не виконуються в криволінійній. Це зумовлено тим, що базисні вектори криволінійної системи координат змінюються від точки до точки.

2. Точка зору Ейлера на вивчення руху суцільного середовища. Допустимо тепер, що нас цікавить не історія руху індивідуалізованих точок суцільного середовища, а те, що відбувається в різні моменти часу в заданій геометричній точці простору, віднесеного до певної системи координат. Через цю точку в різні моменти часу будуть проходити різні частинки суцільного середовища. Це складає суть точки зору Ейлера на вивчення руху суцільного середовища. Наприклад, рух води в річці можна вивчати або, слідкуючи за рухом кожної частинки води (точка зору Лагранжа), або, спостерігаючи зміну протікання води у визначених місцях річки, не прослідковуючи рух окремих частинок води вздовж річки (точка зору Ейлера).

Рух, з точки зору Ейлера, вважається відомим, якщо швидкість, тиск, густина, температура і інші величини задані як функції точки простору і часу

; ;

; . (1.10)

Величини , , , називаються змінними Ейлера. При фіксованих , , , і змінному співвідношення (1.10) визначають зміну з часом швидкості , тиску , густини і абсолютної температури у заданій точці простору, для різних частинок, які проходять через неї. При фіксованому і змінних ці співвідношення визначають розподіл характеристик руху в просторі в заданий момент часу; при змінних , , і – розподіл характеристик руху в просторі в різні моменти часу.

Таким чином, з точки зору Лагранжа, нас цікавлять закони зміни швидкості, прискорення, тиску, густини і інших величин для даної індивідуалізованої точки суцільного середовища, а з точки зору Ейлера – ці ж величини в заданій точці простору.

Математично точка зору Ейлера відрізняється від точки зору Лагранжа тільки тим, що для першої змінними є координати точок простору , , , і час , а для другої – параметри індивідуалізованої точки , , суцільного середовища і час .

Для доведення еквівалентності точок зору Лагранжа і Ейлера в механічному відношенні, здійснимо перехід від змінних Лагранжа до змінних Ейлера і навпаки.

Якщо для рівнянь руху (1.1) має місце умова (1.2), то рівняння (1.3) визначають перехід від змінних Лагранжа до змінних Ейлера. Якщо швидкість, тиск, густина і температура задані у змінних Лагранжа

; ;

; , (1.11)

то співвідношення (1.3) дають можливість визначити ці величини як функції змінних Ейлера.

Навпаки, нехай з точки зору Ейлера задано розподіл швидкостей у просторі

;;. (1.12)

На підставі (1.7) залежності (1.12) можна записати так

;;. (1.13)

Співвідношення (1.13) визначають систему трьох звичайних диференціальних рівнянь відносно , , . Розв’язавши цю систему, визначимо , , як функції і трьох довільних сталих , , , що визначаються за значеннями , , в деякий заданий момент часу . Вони є параметрами (змінними Лагранжа), які індивідуалізують певну точку суцільного середовища. Внаслідок розв’язування системи (1.13) визначається закон руху (1.1), за допомогою якого можна перейти від змінних Ейлера до змінних Лагранжа у формулах (1.10).