- •Механіка суцільного середовища
- •Кінематика суцільного середовища
- •Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища
- •Способи задання руху суцільного середовища
- •Розділ 2 елементи гідродинаміки
- •2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу
- •2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини
- •2.3. Рівняння Ейлера
- •2.4. Гідростатика
- •2.5. Умова відсутності конвекції
- •2.6. Рівняння Бернуллі
- •Основи теорії пружності (теорія деформації)
- •3.1. Вектор зміщення і деформований стан
- •3.2. Тензор деформації
- •3.3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку
- •3.4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації
- •3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації
- •3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення
- •Основи теорії пружності (теорія напружень)
- •4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла
- •4.2. Тензор напружень
- •4.3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень
- •4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
- •4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
- •Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
- •5.1. Узагальнений закон Гука
- •Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)
- •6.1. Основні рівняння теорії пружності
- •6.2. Основні задачі статики пружного тіла
- •6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності
- •6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях
- •6.5. Основні рівняння в напруженнях
- •Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
- •6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
- •6.7. Принцип Сен-Венана
- •Найпростіші задачі теорії пружності
- •Метод суперпозиції
- •Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
- •7.1. Плоска деформація
- •7.2. Плоский напружений стан
- •7.3. Узагальнений плоский напружений стан
- •7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми
- •7.5. Плоска задача в декартових координатах
- •Нехай функція напружень має вигляд полінома третього степеня
- •Виберемо функцію напружень у вигляді полінома четвертого степеня
- •Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд
- •8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми
- •8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від
- •Задачі, в яких напруження залежать від і
- •Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
- •Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
- •9.1. Комплексне подання функції напружень
- •Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
- •9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
- •9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів
- •9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні
- •9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
- •Список літератури
9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
Нехай гладкий замкнутий контур , точки якого позначимо через , ділить площину на внутрішню скінчену область , яка залишається зліва при обході проти годинникової стрілки, і на зовнішню нескінченну область .
Якщо в області задана голоморфна функція , яка неперервна в , то має місце формула Коші
(9.78)
Якщо функція голоморфна в (включаючи нескінченно віддалену точку) і неперервна в , то формула Коші має вигляд
(9.79)
-
Перша основна задача для нескінченної площини з еліптичним отвором. Розглянемо нескінченну ізотропну площину з еліптичним отвором, яка перебуває в умовах рівномірного розтягу (стиску) взаємно перпендикулярними напруженнями і , прикладеними “на нескінченності”. Вважаємо, що напрямки дії напружень паралельні осям еліпса. Зовнішнє навантаження на контурі отвору відсутнє.
Систему прямокутних координат виберемо так, як показано на рис. 9.2.
Функція
(9.80)
при реалізує конформне відображення площини з круговим отвором на розглядувану площину з еліптичним отвором. Тут ; , – півосі еліпса; – ексцентриситет еліпса. Не порушуючи загальності, приймаємо .
При відсутності зовнішнього навантаження на контурі граничні умови (9.70) приймають вигляд
. (9.81)
Оскільки зовнішнє навантаження на пластинку зрівноважене, то компоненти головного вектора дорівнюють нулю і формули (9.77) запишуться так
; . (9.82)
Підставляючи (9.82) в (9.81), одержимо
. (9.83)
Для еліптичного отвору (9.80)
; ; ;
. (9.84)
Тому співвідношення (9.83) приймає вигляд
. (9.85)
Помножимо (9.85) на і проінтегруємо по контуру
. (9.86)
Функції , є граничними значеннями функцій , , які голоморфні в , тому на підставі (9.79) маємо при
; . (9.87)
Оскільки в області , тому функції , , , є граничними значеннями функцій , , , , які голоморфні в області . Використовуючи формулу (9.78), одержимо при
; ;
; . (9.88)
Підставляючи (9.87), (9.88) в (9.85), знаходимо
(9.89)
або з врахуванням (9.82)
. (9.90)
Для визначення перейдемо в (9.85) до спряжених величин
. (9.91)
Враховуючи в (9.91) співвідношення (9.89), одержимо після певних перетворень
. (9.92)
Помножимо (9.92) на і проінтегруємо по контуру . Враховуючи, що при , одержимо після обчислення відповідних інтегралів
. (9.93)
На підставі (9.82) визначаємо функцію
. (9.94)
Комплексні потенціали (9.90) і (9.94) повністю визначають розв’язок поставленої задачі. При цьому компоненти тензора напружень визначаються за формулами (9.71).
Якщо в (9.90), (9.94) покласти , то одержимо розв’язок задачі для пластинки з круговим отвором. При еліпс вироджується у відрізок довжиною 2.
Для прикладу визначимо компоненти тензора напружень на контурі отвору для точок якого .
За формулами (9.71), (9.90)
. (9.95)
Враховуючи, що на контурі отвору і позначення (9.57), із (9.95) знаходимо
. (9.96)
У випадку одностороннього розтягу площини в напрямку осі (; ) формула (9.96) запишеться у вигляді
. (9.97)
Найбільші напруження виникають у вершинах еліпса, які належать великій осі,
. (9.98)
Якщо прийняти , то еліптичний отвір вироджується в круговий, а формула (9.96) співпадає з відповідною формулою (8.86), яка одержана іншим способом.
-
Друга гранична задача для нескінченної площини з еліптичним отвором. Розглянемо попередню задачу при допущенні, що в еліптичний отвір пластинки вставлено абсолютно жорсткий диск і по всьому контуру спаяний з нею (рис. 9.3). При відсутності зміщень контуру () гранична умова (9.75) другої основної задачі приймає вигляд
(9.99)
або з врахуванням (9.82) запишеться так
. (9.100)
Рис. 9.3 |
. (9.101)
На підставі (9.82) функція має вигляд
. (9.102)
Для визначення перейдемо в (9.100) до спряжених величин
. (9.103)
Підставляючи в (9.103) вирази (9.84), (9.102), знаходимо після певних перетворень
. (9.104)
Поступаючи так, як і з співвідношенням (9.92), одержимо
. (9.105)
Враховуючи (9.82), визначаємо комплексний потенціал
. (9.106)
Компоненти напруженого стану в довільній точці площини через комплексні потенціали можна визначити за формулами (9.71).
Методом інтегралів типу Коші можна розв’язати ряд інших практично важливих задач плоскої теорії пружності.