- •Механіка суцільного середовища
- •Кінематика суцільного середовища
- •Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища
- •Способи задання руху суцільного середовища
- •Розділ 2 елементи гідродинаміки
- •2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу
- •2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини
- •2.3. Рівняння Ейлера
- •2.4. Гідростатика
- •2.5. Умова відсутності конвекції
- •2.6. Рівняння Бернуллі
- •Основи теорії пружності (теорія деформації)
- •3.1. Вектор зміщення і деформований стан
- •3.2. Тензор деформації
- •3.3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку
- •3.4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації
- •3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації
- •3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення
- •Основи теорії пружності (теорія напружень)
- •4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла
- •4.2. Тензор напружень
- •4.3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень
- •4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
- •4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
- •Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
- •5.1. Узагальнений закон Гука
- •Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)
- •6.1. Основні рівняння теорії пружності
- •6.2. Основні задачі статики пружного тіла
- •6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності
- •6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях
- •6.5. Основні рівняння в напруженнях
- •Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
- •6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
- •6.7. Принцип Сен-Венана
- •Найпростіші задачі теорії пружності
- •Метод суперпозиції
- •Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
- •7.1. Плоска деформація
- •7.2. Плоский напружений стан
- •7.3. Узагальнений плоский напружений стан
- •7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми
- •7.5. Плоска задача в декартових координатах
- •Нехай функція напружень має вигляд полінома третього степеня
- •Виберемо функцію напружень у вигляді полінома четвертого степеня
- •Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд
- •8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми
- •8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від
- •Задачі, в яких напруження залежать від і
- •Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
- •Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
- •9.1. Комплексне подання функції напружень
- •Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
- •9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
- •9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів
- •9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні
- •9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
- •Список літератури
6.5. Основні рівняння в напруженнях
Система трьох диференціальних рівнянь рівноваги (6.3), яка містить шість шуканих функцій , має неоднозначний розв’язок.
Функції , які визначають дійсний напружений стан тіла, будучи статично можливими і зв’язаними законом Гука (6.5) з функціями , повинні задовольняти, як і функції , умовам сумісності. Очевидно, що ці умови можна одержати із диференціальних залежностей Сен-Венана (6.2) шляхом виключення функцій за допомогою закону Гука (6.5). Однак, ці рівняння значно простіше можна одержати із рівнянь Ламе (6.14), (6.15).
Диференціюючи (6.14) по змінній , одержимо
. (6.22)
Індекси та рівноправні, тому
. (6.23)
У результаті додавання (6.22), (6.23) знаходимо
. (6.24)
Продиференціювавши рівняння (6.15) відповідно по , , знаходимо після їх сумування
. (6.25)
Враховуючи, що ; ; , із (6.25) одержимо
. (6.26)
Використовуючи співвідношення
; , (6.27)
із (6.26) визначаємо
. (6.28)
На підставі (6.1) і (6.5) маємо
. (6.29)
Враховуючи (6.29), (6.27), рівняння (6.24) запишемо у вигляді
. (6.30)
Беручи до уваги (6.28), остаточно одержимо
. (6.31)
Ця рівність визначає шість співвідношень, які утворюють дві групи диференціальних залежностей між компонентами тензора напружень.
У задачах, які часто зустрічаються на практиці, об’ємні сили постійні або дорівнюють нулю. У цьому випадку рівняння (6.31) спрощується
(6.32)
і визначає встановлені в 1892р. Бельтрамі шість диференціальних співвідношень
; ;
; ; (6.33)
; .
Рівняння (6.31) були одержані Дж. Мічеллом в 1900р., тому вони називаються рівняннями Бельтрамі–Мічелла. Вони визначають умови сумісності, які виражені через компоненти тензора напружень .
Таким чином, при розв’язуванні прямої задачі у напруженнях спочатку визначаються шість функцій , які повинні задовольняти диференціальним рівнянням рівноваги (6.3), рівнянням Бельтрамі-Мічелла (6.32) і граничним умовам (6.6). На наступному етапі за функціями і законом Гука (6.5) визначаються функції . При цьому умови сумісності Сен-Венана будуть виконуватися тому інтегрування рівнянь (6.1) при визначенні функцій буде здійснюватися однозначно.
Додаючи перші три рівняння (6.33) при умові , знаходимо , тобто перший інваріант тензора напружень є (при відсутності об’ємних сил або коли вони сталі) гармонічна функція.
Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
. (6.34)
Якщо об’ємні сили відсутні або коли вони постійні, компоненти тензора напружень є бігармонічні функції.
6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
Розв’язування прямої задачі теорії пружності як у зміщеннях, так і в напруженнях вимагає інтегрування складної системи диференціальних рівнянь у частинних похідних що, як правило, пов’язано зі значними математичними труднощами. Тому при розв’язуванні прямої задачі часто використовують наближені методи. У деяких випадках розв’язок можна ефективно одержати за допомогою так званого напівоберненого методу Сен-Венана.
Суть цього методу полягає у тому, що при розв’язуванні конкретної задачі, наприклад, у напруженнях задаються із міркувань фізичного характеру деякі компоненти тензора напружень, після чого визначаються решта компонент із рівнянь рівноваги (6.3) при виконанні умов сумісності Бельтрамі-Мічелла (6.30) або (6.32) і граничних умов (6.6).
Може виявитися, що зроблені допущення щодо деяких компонент тензора напружень будуть суперечити або умовам рівноваги, або граничним умовам, або умовам сумісності. У цих випадках необхідно зробити інші припущення про значення частини компонент , виходячи, наприклад, із відомих розв’язків аналогічних задач. У цьому розумінні напівобернений метод Сен-Венана є недосконалим. Однак, якщо зроблені припущення відносно деяких компонент тензора напружень або для деяких компонент вектора зміщення, коли задача розв’язується в зміщеннях, не суперечать всім основним рівнянням граничної задачі, то одержаний розв’язок буде точним і однозначним.