7.2. Плоский напружений стан
Нехай
пружне тіло (рис.7.1) з незакріпленими
торцями перебуває під дією зрівноважених
поверхневих сил, прикладених перпендикулярно
до його бічної поверхні (
).
Будемо вважати, що тіло буде перебувати в плоскому напруженому стані, якщо в кожному поперечному перерізі
. (7.10)
Відмінні
від нуля компоненти тензора напружень
повинні задовольняти однорідним
диференціальним рівнянням рівноваги
(7.7).
У
даному випадку на відміну від плоскої
деформації зміщення
,
,
,
а відповідно і напруження
(
),
залежать від координати
,
тобто задача плоского напруженого стану
є тривимірною.
Рівняння закону Гука (6.4) при плоскому напруженому стані приймають вигляд:
;
;
;
; (7.11)
;
,
де
.
Оскільки
,
,
то з третього рівняння (7.11) знаходимо
. (7.12)
Тоді
(7.13)
і співвідношення (7.11) призводяться до вигляду
;
;
. (7.14)
Якщо ввести позначення
, (7.15)
то з (7.14) одержимо
;
;
. (7.16)
Співвідношення
(7.16) за формою співпадають з відповідними
рівняннями (7.5) задачі про плоску
деформацію. Якщо в (7.5) замінити
іншою сталою
,
визначеною за формулою (7.15), то одержимо
співвідношення (7.16).
Граничні умови, умови сумісності Сен-Венана і залежності Коші при плоскому напруженому стані будуть таким ж, як і при плоскій деформації, оскільки названі співвідношення не містять пружних сталих.
7.3. Узагальнений плоский напружений стан
Розглянемо
тонку пластинку товщиною
,
яка навантажена по її контуру поверхневими
силами
,
,
симетричними відносно середньої площини
пластинки, з якою суміщена координатна
площина
(рис. 7.2).
При такому навантаженні пластинки в її внутрішніх точках усі компоненти тензора напружень будуть відмінними від нуля і повинні задовольняти трьом однорідним рівнянням рівноваги (масові сили відсутні)
;
Рис.
7.2
; (7.17)
.
Торцеві
поверхні вільні від навантаження, тому
для кожної точки
. (7.18)
З
цих співвідношень випливає, що для точок
, (7.19)
тому із третього рівняння (7.17) для них одержимо
. (7.20)
Розглянемо
розклад функції
в ряд за степенями
в околі точки
при фіксованих
,
Враховуючи (7.18), (7.19), одержимо
(7.21)
Для
тонкої пластинки компонента
мала і з
достатнім наближенням можна вважати,
що
у всіх точках пластинки.
Решту
компонент тензора напружень подамо їх
середніми значеннями
за формулами
;
;
;
; (7.22)
;
.
Тут
враховано, що
,
,
парні функції відносно
а
,
– непарні.
Таким
чином, при заміні компонент тензора
напружень
їх середніми значеннями
,
відмінними від нуля і незалежними від
будуть
тільки три компоненти
,
,
,
тобто при осередненні компонент тензора
напружень розглядувана пластинка
приблизно буде перебувати в умовах
плоского напруженого стану, який будемо
називати узагальненим
плоским напруженим станом.
При
цьому рівняння рівноваги (7.17) для
осереднених значень
приймають вигляд
;
, (7.23)
а співвідношення закону Гука (6.4) будуть такими
;
;
. (7.24)
Тут
;
,
(
);
– стала,
яка визначається за формулою (7.15).
Диференціальні
залежності Коші, умови сумісності
Сен-Венана, граничні умови одержимо з
(7.3), (7.4), (7.8), якщо в них замінити величини
,
,
їх осередненими значеннями
,
,
.
При співставленні основних рівнянь задачі про плоску деформацію з відповідними рівняннями задачі про узагальнений плоский напружений стан видно, що вони математично ідентичні.
Замінивши
в рівняннях першої задачі компоненти
,
(
)
їх середніми значеннями
,
а коефіцієнт Ламе
–
сталою
,
одержимо рівняння другої задачі. Ці дві
різні за змістом задачі зводяться до
однієї і тієї крайової задачі, яка
називається плоскою
задачею теорії пружності.
В подальшому буде розглядатися, як правило, задача про плоску деформацію. Якщо її розв’язок буде відомим, то вказаною вище заміною одержимо розв’язок відповідної задачі про узагальнений плоский напружений стан при тих же граничних умовах.