- •Механіка суцільного середовища
- •Кінематика суцільного середовища
- •Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища
- •Способи задання руху суцільного середовища
- •Розділ 2 елементи гідродинаміки
- •2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу
- •2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини
- •2.3. Рівняння Ейлера
- •2.4. Гідростатика
- •2.5. Умова відсутності конвекції
- •2.6. Рівняння Бернуллі
- •Основи теорії пружності (теорія деформації)
- •3.1. Вектор зміщення і деформований стан
- •3.2. Тензор деформації
- •3.3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку
- •3.4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації
- •3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації
- •3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення
- •Основи теорії пружності (теорія напружень)
- •4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла
- •4.2. Тензор напружень
- •4.3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень
- •4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
- •4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
- •Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
- •5.1. Узагальнений закон Гука
- •Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)
- •6.1. Основні рівняння теорії пружності
- •6.2. Основні задачі статики пружного тіла
- •6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності
- •6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях
- •6.5. Основні рівняння в напруженнях
- •Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
- •6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
- •6.7. Принцип Сен-Венана
- •Найпростіші задачі теорії пружності
- •Метод суперпозиції
- •Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
- •7.1. Плоска деформація
- •7.2. Плоский напружений стан
- •7.3. Узагальнений плоский напружений стан
- •7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми
- •7.5. Плоска задача в декартових координатах
- •Нехай функція напружень має вигляд полінома третього степеня
- •Виберемо функцію напружень у вигляді полінома четвертого степеня
- •Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд
- •8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми
- •8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від
- •Задачі, в яких напруження залежать від і
- •Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
- •Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
- •9.1. Комплексне подання функції напружень
- •Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
- •9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
- •9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів
- •9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні
- •9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
- •Список літератури
5.1. Узагальнений закон Гука
Співвідношення між компонентами тензора напружень і компонентами тензора деформації для певної моделі пружного суцільного середовища залежать від властивостей цього середовища, які встановлюються експериментально.
У випадку твердих тіл мають місце певні труднощі при експериментальному визначенні цих властивостей. Дійсно, зовсім неможливе безпосереднє вимірювання не тільки напружень, але й деформацій у внутрішніх точках твердого тіла. Порівняно просто з допомогою різних тензометрів експериментально можна визначити тільки середні значення відносних видовжень лінійних елементів на поверхні зразків, на які діє певного виду навантаження, рівнодійну якого можна виміряти з достатньою точністю.
Як відомо, найбільш легко здійснимими експериментами є випробування зразків при одновісному розтягу або стиску, а також випробування циліндричних зразків при крученні. Для цих найпростіших навантажень зразків їх робоча частина перебуває в умовах однорідних найпростіших напружених станів (одновісного розтягу або стиску і чистого зсуву).
Результати таких експериментів показують, що в певних межах зовнішнього навантаження для більшості твердих пружних тіл деформації пропорційні навантаженням. Ця закономірність відома як закон Гука.
Узагальнюючи результати багатьох експериментів, приходимо до узагальненого закону Гука, згідно з яким компоненти тензора напружень в кожній точці тіла є однорідними лінійними функціями компонент тензора деформації в цій же точці розглядуваного стану рівноваги тіла
;
;
; (5.1)
;
;
.
Величини () називаються пружними сталими матеріалу тіла у розглядуваній точці. З умов симетричності тензора напружень і тензора деформації випливає симетричність матриці ().
Таким чином, узагальнений закон Гука (5.1) містить 21 незалежну пружну сталу. У випадку однорідного пружного тіла в усіх точках. Якщо тіло однорідне і ізотропне, то величини не залежать від вибору точки і системи координат. У цьому розділі будемо розглядати лише однорідні й ізотропні тіла.
Зауважимо, що напруження визначають у точці , а деформації – у точці .
Допустимо (тимчасово), що координатні осі співпадають з головними осями тензора деформації. Тоді на підставі (3.37)
(5.2)
і три останні співвідношення (5.1) можна записати так
;
; (5.3)
.
Розглянемо перше співвідношення (5.3). Систему координат повернемо навколо осі на 180. У випадку однорідного та ізотропного тіла
; ; ; . (5.4)
Підставимо (5.4) у перше рівняння (5.3)
.
Остання рівність повинна виконуватися для всіх точок тіла, тому
. (5.5)
Здійснивши аналогічні перетворення з другим і третім співвідношеннями (5.3), одержимо
. (5.6)
Підставивши (5.5), (5.6) в (5.3), одержуємо
. (5.7)
На підставі (5.2), (5.6) приходимо до висновку, що головні осі тензора деформації співпадають з головними осями тензора напружень.
Розглянемо три перші співвідношення (5.1)
;
; (5.8)
.
Повернемо систему координат навколо осі на 90. У цьому випадку
; ; ; . (5.9)
Підставляючи (5.9) у перше співвідношення (5.8), одержимо
, або .
Тоді
. (5.10)
Ввівши позначення ; ; , із (5.10) одержимо
. (5.11)
Аналогічні залежності одержимо для інших співвідношень (5.8)
;
. (5.12)
На підставі (5.11), (5.12) закон Гука для нормальних напружень приймає вигляд
; ; . (5.13)
Для встановлення вигляду трьох останніх залежностей (5.1) поступимо так. Запишемо (5.13) для головних напружень і деформацій
; ; (5.14)
і розглянемо довільний вектор . Помножимо рівності (5.14) відповідно на , , і додамо
(5.15)
Співвідношення (5.15) можна розглядати як образ співвідношення
(5.16)
при переході від довільних до головних осей. В (5.16) враховано інваріантність величин
,
.
Порівнюючи в (5.16) коефіцієнти при однакових добутках змінних , , , одержимо
; ; ;
; ; , (5.17)
або в тензорному вигляді
, (5.18)
де – символ Кронекера.
Величини , називаються пружними сталими Ламе.
Як видно із (5.17), для ізотропного матеріалу закон Гука містить дві пружні сталі.
Для встановлення фізичного змісту пружних сталих допустимо, що всі компоненти тензора напружень, крім , дорівнюють нулю. Тоді, на підставі (5.17)
; ; . (5.19)
Враховуючи залежність , із (5.19) визначаємо
; . (5.20)
Введемо позначення:
; ; . (5.21)
Величина називається модулем поздовжньої деформації або модулем Юнга, – модулем зсуву, – коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона (, , ).
Використовуючи (5.21), залежності (5.20) можна записати у вигляді
; . (5.22)
Як відомо з курсу опору матеріалів, технічні сталі , і зв’язані між собою співвідношенням
. (5.23)
При розв’язуванні окремих задач необхідно мати формули, які дозволяють безпосередньо визначити компоненти тензора деформації за відомими компонентами тензора напружень. Розв’язуючи лінійне рівняння (5.18) відносно , знаходимо
, (5.24)
де .
В технічних сталих , , співвідношення закону Гука (5.18), (5.24) запишуться так
; (5.25)
. (5.26)
РОЗДІЛ 6