- •Механіка суцільного середовища
- •Кінематика суцільного середовища
- •Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища
- •Способи задання руху суцільного середовища
- •Розділ 2 елементи гідродинаміки
- •2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу
- •2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини
- •2.3. Рівняння Ейлера
- •2.4. Гідростатика
- •2.5. Умова відсутності конвекції
- •2.6. Рівняння Бернуллі
- •Основи теорії пружності (теорія деформації)
- •3.1. Вектор зміщення і деформований стан
- •3.2. Тензор деформації
- •3.3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку
- •3.4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації
- •3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації
- •3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення
- •Основи теорії пружності (теорія напружень)
- •4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла
- •4.2. Тензор напружень
- •4.3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень
- •4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
- •4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
- •Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
- •5.1. Узагальнений закон Гука
- •Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)
- •6.1. Основні рівняння теорії пружності
- •6.2. Основні задачі статики пружного тіла
- •6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності
- •6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях
- •6.5. Основні рівняння в напруженнях
- •Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
- •6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
- •6.7. Принцип Сен-Венана
- •Найпростіші задачі теорії пружності
- •Метод суперпозиції
- •Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
- •7.1. Плоска деформація
- •7.2. Плоский напружений стан
- •7.3. Узагальнений плоский напружений стан
- •7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми
- •7.5. Плоска задача в декартових координатах
- •Нехай функція напружень має вигляд полінома третього степеня
- •Виберемо функцію напружень у вигляді полінома четвертого степеня
- •Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд
- •8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми
- •8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від
- •Задачі, в яких напруження залежать від і
- •Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
- •Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
- •9.1. Комплексне подання функції напружень
- •Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
- •9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
- •9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів
- •9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні
- •9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
- •Список літератури
-
Задачі, в яких напруження залежать від і
Серед таких задач є задачі для кругового кільця або його частини, в яких напруження пропорційні або , тобто є функціями вигляду або . Такому розподілу напружень відповідає бігармонічна функція
, (8.56)
де , – функції тільки ; , – сталі.
Розглянемо частковий випадок задачі (; ) і підставимо (8.56) у (8.28). Для визначення одержимо таке рівняння
або
. (8.57)
Після чотирикратного інтегрування (8.57) по , знаходимо
. (8.58)
Тоді функцію напружень (8.56) запишемо у вигляді
. (8.59)
За формулами (8.27) визначаємо компоненти тензора напружень
;
; (8.60)
.
Оскільки – лінійний вираз, тому постійна у формули (8.60) не входить.
Компоненти тензора деформації у випадку плоского напруженого стану на підставі (8.22), (8.26) визначаються співвідношеннями
;
;
. (8.61)
Для визначення компонент вектора зміщення необхідно проінтегрувати рівняння (8.61).
Якщо розглянути інший частковий випадок функції , коли , , то одержимо залежності, аналогічні до (8.58)-(8.61). Об’єднуючи ці два часткові випадки, функцію напружень подамо у вигляді
. (8.62)
8.4.1. Згин кривого стержня прямокутного перерізу силою, прикладеного до незакріпленого кінця (задача Х.С. Головіна). Розглянемо кривий стержень з круговою віссю радіусом один з торців якого жорстко закріплений, а до іншого прикладена сила , що діє перпендикулярно до осі стержня (рис. 8.9).
При такому навантаженні стержня в довільному його поперечному перерізі, який визначається кутом , згинаючий момент пропорційний . Природно допустити, що в цьому випадку напруження , а отже і функція також будуть пропорційними .
Приймаючи функцію напружень у вигляді
, (8.63)
за формулами (8.27) знаходимо
; ;
. (8.64)
Граничні умови задачі мають вигляд
; ; . (8.65)
Підставляючи (8.64) в умови (8.65), запишемо систему рівнянь для визначення сталих , ,
; ;
, (8.66)
з якої знаходимо
; ; , (8.67)
де .
Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
; ;
. (8.68)
Розглянемо тепер навантаження стержня силою , яка діє перпендикулярно до вільного торця (рис. 8.10 а). У цьому випадку згинаючий момент пропорційний . Приймаючи
, (8.69)
за формулами (8.27) знаходимо
Рис.
8.10 а
. (8.70)
З граничних умов задачі
; ; (8.71)
визначаємо
; ; . (8.72)
Підставляючи (8.72) в (8.70), одержимо
; ;
, (8.73)
де стала визначається за формулами (8.67).
З (8.67) випливає, що функція (8.69) визначає відмінний від (8.71) напружений стан, при якому в перерізі мають місце тільки дотичні напруження , які зводяться до поперечної сили , а на вільному торці розподілені сили зводяться до сили , яка прикладена в центрі торця, і пари сил з моментом (рис. 8.10 б).
П
Рис.
8.10 б
;
;
. (8.74)
Маючи розв’язки (8.68) і (8.74), на підставі принципу суперпозиції можна одержати розв’язок задачі про згин розглядуваного стержня силою, довільно напрямленою в його площині і прикладеною до центра вільного торця.
8.4.2.
Двосторонній розтяг нескінченої
пластинки з круговим отвором. Р
Рис.
8.11
Поряд з прямокутною виберемо полярну систему координат з полюсом в центрі отвору.
Розглянемо коло великого радіуса з центром в точці . Визначимо на цьому колі значення компонент тензора напружень у полярній системі координат. За формулами (8.8) знаходимо
;
. (8.75)
Співвідношення (8.75) показують, що у даному випадку функцію напружень можна вибрати у вигляді
, (8.76)
де – розв’язок (8.34) рівняння (8.32), – функція змінної .
Підставляючи (8.76) у (8.28), приходимо до рівняння для визначення
, (8.77)
інтегруючи яке, знаходимо
. (8.78)
Враховуючи (8.34), (8.78), функцію напружень (8.76) запишемо так
. (8.79)
Підставляючи (8.79) у (8.27), одержимо вирази для компонент тензора напружень
;
; (8.80)
.
Граничні умови задачі мають вигляд
при ;
; при . (8.81)
Якщо підставити (8.80) в умови (8.81), то одержимо систему рівнянь для визначення сталих , , , , , , ,
;
;
;
. (8.82)
Ліві частини умов (8.82) при повинні приймати скінчені значення. Це можливо лише тоді, коли . У цьому випадку система (8.82) перетвориться до вигляду
; ; ;
; ; . (8.83)
Розв’язуючи (8.83), знаходимо
; ; ;
; ; . (8.84)
Враховуючи (8.84), формули (8.80) запишемо у такому вигляді
;
;
. (8.85)
Якщо в (8.85) покласти , то одержимо вирази для напружень на контурі отвору
; . (8.86)
Аналізуючи формули (8.85), приходимо до висновку, що напружений стан площини із збільшенням співпадає з напруженим станом суцільної пластинки, який визначається за формулами (8.75). Це означає, що вплив отвору в нескінченній пластинці має локальний характер і швидко згасає з ростом .
РОЗДІЛ 9