Розділ 2 елементи гідродинаміки

2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу

Розглянемо поняття скалярного і векторного поля. Скалярним полем називається множина чисел, які ставляться у відповідність точкам простору або деякої його частини

.

Відповідність називається функцією, яка породжує скалярне поле.

Векторним полем, яке породжене множиною точок простору або його частиною, називається відповідність, яка кожній точці ставить у відповідність єдиний вектор

,

де – базисні вектори вибраної прямокутної декартової системи координат.

На скалярному і векторному полі можуть бути породжені інші скалярні чи векторні поля певної природи.

Розглянемо скалярне поле, породжене функцією , яку вважаємо неперервною і неперервно диференційованою за всіма змінними. Цьому полю поставимо у відповідність векторне поле

,

яке називається градієнтом скалярного поля.

Таким чином, оператор на скалярному полі породжує векторне поле . Якщо рівняння виражає в просторі деяку поверхню, то в кожній регулярній точці поверхні визначає нормаль в цій точці. Якщо ввести порожній оператор , то .

Розглянемо векторне поле . Поставимо йому у відповідність скалярне поле, яке визначається залежністю

, (, , – проекції вектора на координатні осі)

і називається дивергенцією (розширенням). Зауважимо, що .

Векторному полю поставимо у відповідність інше векторне поле, яке називається ротором і визначається за таким законом

.

Введені вище три оператори , , дозволяють значно спрощувати записи при виведенні основних рівнянь гідродинаміки і теорії пружності.

Запишемо без доведення основні властивості введених операторів

1.;

2.

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини

Гідродинаміка – наука, яка вивчає рух рідин і газів. Оскільки явища, що вивчаються в гідродинаміці мають макроскопічний характер, то рідина (газ) як об’єкт вивчення вважається, суцільним середовищем з нескінченно “короткою” пам’яттю. Це означає, що довільний малий елемент об’єму рідини вважається все таки настільки великим, що містить дуже велике число молекул. Тому, коли ми будемо говорити про нескінченно малі об’єми, то будемо розуміти “фізичний” об’єм, який нескінченно малий в порівнянні з об’ємом середовища (тіла), але нескінченно великий в порівнянні з міжмолекулярними відстанями. У такому змісті слід розуміти в гідродинаміці термін “рідка частинка”, “точка рідини”. Якщо, наприклад, говорять про зміщення деякої частинки рідини, то при цьому мова йде не про зміщення окремої молекули, а про зміщення цілого елемента об’єму, який розглядається в гідродинаміці як точка.

Математичний опис стану рухомої рідини відносно вибраної системи відліку здійснюється за допомогою функцій, що визначають розподіл швидкостей точок рідини і будь-яких її двох термодинамічних величин, наприклад, тиску і густини . Як відомо, всі термодинамічні величини визначаються за значеннями будь-яких двох з них за допомогою рівнянь стану рідини. Тому задання п’яти величин: трьох компонент швидкості , тиску і густини , повністю визначає стан рухомої рідини. Всі ці величини є, взагалі, функціями координат , , і часу . Підкреслимо, що – швидкість рідини в кожній заданій точці простору в момент часу . Це означає, що вектор віднесений до певних точок простору, а не до певних частин рідини, які переміщуються з часом у просторі. Те ж саме відноситься до величин і (опис руху рідини методом Ейлера).

Виведення основних рівнянь гідродинаміки розпочнемо з рівняння, що виражає собою закон збереження речовини (маси) в гідродинаміці.

Розглянемо деякий об’єм , заповнений рідиною. Кількість (маса) рідини в цьому об’ємі визначається формулою

. (2.1)

Позначимо через векторний елемент поверхні, що обмежує об’єм . Через цей елемент за одиницю часу протікає рідини. При цьому , де – одиничний вектор зовнішньої нормалі до елемента поверхні. Величина , якщо рідина витікає з об’єму.

Повна кількість рідини, що за одиницю часу витікає з об’єму , дорівнює

, (2.2)

де – поверхня, яка обмежує об’єм .

З іншого боку, зміну (зменшення) кількості рідини в об’ємі можна записати у вигляді

. (2.3)

Порівнявши (2.2) і (2.3), знаходимо

. (2.4)

Праву частину (2.4) перетворимо за формулою Остроградського

. (2.5)

Таким чином,

. (2.6)

Рівність (2.6) має місце для довільного об’єму , тому

. (2.7)

Рівняння (2.7) називається рівнянням неперервності руху рідини.

Враховуючи, що

,

із (2.7) одержимо іншу форму рівняння неперервності

. (2.8)

Вектор називається густиною потоку рідини. Його напрям співпадає з напрямом руху рідини, а величина визначає кількість рідини, яка протікає через одиницю площі перпендикулярної до вектора швидкості за одиницю часу.