Міністерство освіти і науки України

Рівненський державний гуманітарний університет

А.О. Сяський, С.М. Бабич

Механіка суцільного середовища

Навчальний посібник для студентів

спеціальності «прикладна математика»

Рівне-2007

Сяський А.О., Бабич С.М.. Механіка суцільного середовища. Навчальний посібник для студентів спеціальності «прикладна математика».− Рівне: Ред. − видав. Відділ РДГУ, 2007. − 150 с.

Затверджено до друку науково-методичною радою РДГУ (протокол № від лютого 2007р).

Рецензенти: А.П. Власюк, д.т.н., проф. (НУВГП);

С.С. Каштан, к.т.н., доц. (РДГУ)

Відповідальний за випуск: А.О. Сяський, д.т.н., проф., завідувач кафедри інформатики та прикладної математики РДГУ.

©Сяський Андрій,

Бабич Степанія, 2007

ЗМІСТ

РОЗДІЛ 1. КІНЕМАТИКА СУЦІЛЬНОГО СЕРЕДОВИЩА 5

1. Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища 5

2. Способи задання руху суцільного середовища 9

РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ГІДРОДИНАМІКИ 16

1. Основні поняття і формули векторного аналізу 16

2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини 18

3. Рівняння Ейлера 20

4. Гідростатика 25

5. Умова відсутності конвекції 28

6. Рівняння Бернуллі 30

РОЗДІЛ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (ТЕОРІЯ ДЕФОРМАЦІЇ)

33

1. Вектор зміщення і деформований стан 33

2. Тензор деформації 35

3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку 41

4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації 43

5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації 45

6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення 50

РОЗДІЛ 4. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (ТЕОРІЯ НАПРУЖЕНЬ) 52

1. Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла 52

2. Тензор напружень 54

3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень 57

4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат 61

5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень 62

РОЗДІЛ 5. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ КОМПОНЕНТАМИ ТЕНЗОРА НАПРУЖЕНЬ І ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦІЇ) 64

1. Узагальнений закон Гука 65

РОЗДІЛ 6. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ) 71

1. Основні рівняння теорії пружності 71

2. Основні задачі статики пружного тіла 73

3. Пряма і обернена задачі теорії пружності 74

4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях 75

5. Основні рівняння в напруженнях 78

6. Напівобернений метод Сен-Венана 81

7. Принцип Сен-Венан 82

8. Найпростіші задачі теорії пружності 83

9. Метод суперпозиції 87

РОЗДІЛ 7. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (ПЛОСКА ЗАДАЧА ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ) 88

1. Плоска деформація 88

2. Плоский напружений стан 91

3. Узагальнений плоский напружений стан 93

4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми 95

5. Плоска задача в декартових координатах 97

РОЗДІЛ 8. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ (ПЛОСКА ТЕОРІЯ ПРУЖНОСТІ В ПОЛЯРНИХ КООРДИНАТАХ) 102

1. Основні рівняння плоскої теорії пружності в полярних координатах 102

2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми 108

3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від 109

4. Задачі, в яких напруження залежать від і 115

РОЗДІЛ 9. ЗАСТОСУВАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ПЛОСКОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ 125

1. Комплексне подання функцій напружень 125

2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень 128

3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів 132

4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні 137

5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором 142

Список літератури 150

РОЗДІЛ 1