3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення

Формула Чезаро через громіздкість підінтегральних функцій практично не використовується для визначення зміщень. Значно простіше їх визначати через компоненти тензора відносного зміщення за заданими компонентами тензора деформації .

Із диференціальних залежностей Коші (3.43) безпосередньо визначаємо три компоненти тензора

; ; , (3.59)

а інші компоненти () визначаються як функції за їх повними диференціалами в залежності від заданих компонент .

Диференціюючи по рівність (3.44) і враховуючи залежність (3.45), знаходимо

. (3.60)

Інтегруючи (3.60) вздовж кривої , одержимо

. (3.61)

При виконанні умов сумісності Сен-Венана (3.57), (3.58) криволінійний інтеграл в (3.61) не залежить від шляху інтегрування . Тому криву виберемо у вигляді ламаної, ланки якої паралельні координатним осям (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Сумістивши точку з початком координат, одержимо

. (3.62)

Якщо будуть відомі величини , то повні диференціали обчислимо за формулою

. (3.63)

У результаті інтегрування (3.63) по ламаній, яка вибрана на попередньому етапі, одержимо

. (3.64)

Якщо окіл точки не може мати жорсткого зміщення, то сталі , , які входять у формули (3.62), (3.64), дорівнюють нулю.

РОЗДІЛ 4

Основи теорії пружності (теорія напружень)

4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла

Сили, які діють на задане тіло з боку інших тіл, називаються зовнішніми. Вони поділяються на об’ємні (масові) й поверхневі.

Об’ємними (масовими) називаються сили, які діють на кожну частинку об’єму (маси) тіла, наприклад, сили тяжіння, сили інерції. Нехай об’ємна сила, віднесена до одиниці об’єму в околі точки тіла, – об’єм частини тіла. Тоді – сила, що діє в елементарному об’ємі .

Поверхневі сили – сили, які розподілені по поверхні , що обмежує область , зайняту тілом. Поверхневі сили виникають внаслідок дії на дане тіло інших тіл, з ним співдотичних.

Вектор зовнішньої поверхневої сили, яка діє на одиницю площі поверхні тіла, позначимо через . Тоді сила, що буде діяти на елемент поверхні площею , буде .

Головний вектор об’ємних сил і головний вектор поверхневих сил визначаються за формулами:

; . (4.1)

Якщо через позначити радіус-вектор точки тіла, то вирази для головного момента об’ємних і поверхневих сил відносно початку системи координат запишуться так

; . (4.2)

Вважаємо, що головний момент всіх сил, які діють на окіл точки , дорівнює нулю.

Розміщення частинок в недеформованому тілі відповідає стану його теплової рівноваги. При цьому кожна умовно виділена частина тіла перебуває і в стані механічної рівноваги, тобто головний вектор і головний момент всіх сил, які діють на цю частину з боку суміжних частин, дорівнюють нулю.

Під дією зовнішніх сил тіло деформується, тобто відбувається зміна відносного розміщення його частин. Внаслідок цього між частинками тіла виникають додаткові сили взаємодії, які намагаються повернути тіло в початковий (недеформований) стан. Ці внутрішні сили визначаються методом перерізів.

У

Рис. 4.1

мовно розріжемо пружне тіло гладкою поверхнею , яка проходить через точку , на дві частини: І і ІІ. Сили взаємодії між розміщеними по обидва боки від поверхні сусідніми частинами тіла до його розділення були внутрішніми. Після розділення тіла ці сили необхідно прикласти до його частин І і ІІ на поверхні , щоб ці частини, як і до розрізання перебували у рівновазі. Тим самим вони умовно переведені в категорію зовнішніх сил поверхневих сил, розподілених на спільній поверхні обох частин тіла. Вони визначають дію однієї частини тіла на іншу його частину.

Розглянемо на поверхні частини І елементарну площадку площею , яка містить точку . Позначимо через головний вектор поверхневих сил, що діють на цю площадку, а одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні в точці – через .

Відношення називається вектором середнього напруження на площадці площею з нормаллю . Його границя при умові, що площадка стягується в точку

, (4.3)

називається вектором напруження в точці на площадці із нормаллю .

На підставі принципу рівності дії та протидії частина І діє на частину ІІ на площадці , яка містить точку силою , яка дорівнює за величиною силі , але протилежно напрямлена, тобто

. (4.4)

Вектор напруження не залежить від виду січної поверхні, тобто якщо розрізати тіло іншою поверхнею , яка відмінна від , але проходить через точку і має спільну дотичну площину в цій точці, то вектор напруження не зміниться.

Очевидно, що в кожній точці тіла на різних площадках, які проходять через неї, вектори напруження будуть різними. Множина векторів напруження на всеможливих площадках, які проходять через розглядувану точку тіла, визначає напружений стан в цій точці.

Напруженим станом тіла називається сукупність напружених станів у всіх точках тіла. Якщо вектор напруження залежить тільки від вектора , а від координат точки тіла не залежить, то такий напружений стан тіла називається однорідним.