-
Метод суперпозиції
Для
лінійно пружного тіла при однозначних
малих зміщеннях
має місце метод
суперпозиції.
Допустимо,
що лінійно пружне тіло, перебуває в двох
станах навантаження. У першому випадку
тіло перебуває під дією поверхневих
сил
при граничних умовах
на
і
на
,
а в другому випадку перебуває під дією
поверхневих сил
при граничних умовах
на
і
на
.
Тоді, на підставі методу суперпозиції,
функції
,
визначають розв’язок задачі для даного
тіла при дії поверхневих сил
при граничних умовах
на
і
на
.
РОЗДІЛ 7
Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
Розв’язок основних задач теорії пружності складає значну математичну проблему через високий порядок системи рівнянь, велику кількість шуканих функцій і незалежних змінних.
У машинобудуванні доводиться зустрічатися з доволі великим, практично дуже важливим класом задач, в яких на форму тіла і прикладені до нього зовнішні сили можна накласти певні обмеження, які приводять до так званої плоскої задачі теорії пружності.
Плоска задача теорії пружності включає в себе задачі плоскої деформації, плоского напруженого і узагальненого плоского напруженого стану. Ці задачі, які відрізняються за своєю суттю, об’єднані ідентичним математичним формулюванням, що дозволяє розв’язувати їх однаковими методами.
7.1. Плоска деформація
Розглянемо
призматичне або циліндричне тіло великої
довжини, сталого поперечного перерізу
(рис. 7.1), з торцями, перпендикулярними
до осі стержня
і закріпленими так, що їх точки можуть
вільно переміщатися в своїй площині і
не можуть переміщатися вздовж осі
.
Початок
системи координат сумістимо з центром
ваги поперечного перерізу, який
рівновіддалений від торців тіла. Осі
,
напрямимо по головних осях перерізу.
Будемо вважати, що зовнішні сили прикладені перпендикулярно до бічної поверхні тіла і рівномірно розподілені по його довжині
;
,
. (7.1)
Масові сили з розгляду виключаються, оскільки частковий розв’язок, який відповідає їх дії, можна вважати відомим.
Рис. 7.1
При таких обмеженнях відносно форми тіла і зовнішнього навантаження всі поперечні перерізи, залишаючись плоскими, перебувають в однакових умовах. Це дозволяє замість розгляду всього тіла обмежитися розглядом елемента одиничної довжини, який виділений двома поперечними перерізами I – I і II – II (рис. 7.1).
Якщо для кожного такого елемента виконуються умови
;
;
, (7.2)
то такий випадок деформації тіла називається плоскою деформацією.
Запишемо основні рівняння теорії пружності для плоскої деформації.
Диференціальні залежності Коші (6.3)
;
;
;
; (7.3)
;
.
Умови сумісності Сен-Венана (6.2) зводяться до одного співвідношення
. (7.4)
Закон Гука (6.6)
;
; (7.5)
;
;
,
де
.
Додаючи перші два співвідношення (7.5), одержимо
.
Тоді з третього співвідношення (7.5) знаходимо
. (7.6)
Остання
рівність показує, що напруження
відмінні від нуля і однакові по всій
довжині тіла.
Диференціальні рівняння рівноваги (6.3)
;
. (7.7)
Граничні умови (6.6)
а)
на бічній поверхні
;
; (7.8)
б)
на торцях
. (7.9)
Тут
– поверхневе навантаження на торцях.
Співвідношення
(7.9) показує, що на торцях тіла повинні
бути прикладені напруження
,
які визначаються за формулою (7.6), і
забезпечують існування у тілі плоскої
деформації.
Оскільки
всі компоненти напружено-деформованого
стану не залежать від координати
,
то задача плоскої деформації двовимірна.