- •Механіка суцільного середовища
- •Кінематика суцільного середовища
- •Основні поняття і задачі механіки суцільного середовища
- •Способи задання руху суцільного середовища
- •Розділ 2 елементи гідродинаміки
- •2.1. Основні поняття і формули векторного аналізу
- •2.2. Рівняння неперервності руху ідеальної рідини
- •2.3. Рівняння Ейлера
- •2.4. Гідростатика
- •2.5. Умова відсутності конвекції
- •2.6. Рівняння Бернуллі
- •Основи теорії пружності (теорія деформації)
- •3.1. Вектор зміщення і деформований стан
- •3.2. Тензор деформації
- •3.3. Перетворення компонент тензора деформації при заміні системи відліку
- •3.4. Головні напрямки тензора деформації. Головні осі і головні деформації
- •3.5. Визначення компонент вектора зміщення через компоненти тензора деформації
- •3.6. Визначення зміщень через компоненти тензора відносного зміщення
- •Основи теорії пружності (теорія напружень)
- •4.1 Зовнішні сили. Вектор напруження. Напружений стан тіла
- •4.2. Тензор напружень
- •4.3. Диференціальні рівняння рівноваги пружного тіла. Симетричність тензора напружень
- •4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
- •4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
- •Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
- •5.1. Узагальнений закон Гука
- •Основи теорії пружності (основні рівняння і задачі теорії пружності)
- •6.1. Основні рівняння теорії пружності
- •6.2. Основні задачі статики пружного тіла
- •6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності
- •6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях
- •6.5. Основні рівняння в напруженнях
- •Застосовуючи до (6.32) оператор Лапласа, одержимо
- •6.6. Напівобернений метод Сен-Венана
- •6.7. Принцип Сен-Венана
- •Найпростіші задачі теорії пружності
- •Метод суперпозиції
- •Основи теорії пружності (плоска задача теорії пружності)
- •7.1. Плоска деформація
- •7.2. Плоский напружений стан
- •7.3. Узагальнений плоский напружений стан
- •7.4. Основні рівняння плоскої теорії пружності. Зведення до бігармонічної проблеми
- •7.5. Плоска задача в декартових координатах
- •Нехай функція напружень має вигляд полінома третього степеня
- •Виберемо функцію напружень у вигляді полінома четвертого степеня
- •Якщо розглядається друга гранична задача, то граничні умови мають вигляд
- •8.2. Зведення основної задачі до бігармонічної проблеми
- •8.3. Задачі, в яких напруження залежать тільки від
- •Задачі, в яких напруження залежать від і
- •Підставляючи (8.67) у (8.64), одержимо формули для напружень
- •Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
- •9.1. Комплексне подання функції напружень
- •Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
- •9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
- •9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів
- •9.4. Перетворення рівнянь плоскої задачі теорії пружності при конформному відображенні
- •9.5. Двосторонній розтяг нескінченної площини з еліптичним отвором
- •Список літератури
Застосування функцій комплексної змінної до розв’язування задач плоскої теорії пружності
9.1. Комплексне подання функції напружень
При розв’язуванні багатьох задач теорії пружності перевага надається використанню функцій комплексної змінної.
Замість декартових координат , за незалежну змінну виберемо комплексну величину
, (9.1)
де .
Розглянемо довільну аналітичну функцію
. (9.2)
Якщо в (9.2) замінити на , то одержимо комплексно спряжену до функцію
. (9.3)
За означення похідної від складної функції
; . (9.4)
Диференціюючи (9.2) по , , одержимо з врахуванням (9.4)
;
. (9.5)
На підставі (9.5) знаходимо умови Коші-Рімана аналітичності функції
; . (9.6)
Диференціюючи ці умови по , , знаходимо
; . (9.7)
Таким чином дійсна і явна частина аналітичної функції є гармонічні функції. Традиційно їх називають спряженими.
Нехай деяка функція. Застосуємо оператор Лапласа до функції
. (9.8)
Якщо гармонічна функція
, (9.9)
то легко перевірити, що буде гармонічною функція
. (9.10)
Застосовуючи до (9.8) оператор Лапласа
, (9.11)
знаходимо, що – бігармонічна функція, якщо – гармонічна функція. Аналогічно можна показати, що – бігармонічна функція.
Розглянемо основне рівняння плоскої теорії пружності
. (9.12)
Позначимо через гармонічну функцію. Нехай – спряжена до гармонічна функція. Тоді за умовами Коші-Рімана
; . (9.13)
Розглянемо аналітичну функцію
. (9.14)
Інтеграл від цієї функції визначає іншу аналітичну функцію
. (9.15)
Тут , – спряжені гармонічні функції, для яких виконуються умови Коші-Рімана.
Враховуючи, що , одержимо
;
; . (9.16)
Введемо в розгляд функцію
, (9.17)
де – бігармонічна функція напружень.
Легко перевірити з використанням (9.10), (9.16), що функція гармонічна
.
Тоді функцію напружень, на підставі (9.17) подамо у вигляді
. (9.18)
Нехай гармонічна функція, спряжена до . Позначимо через аналітичну функцію
. (9.19)
Дійсна частина функції дорівнює правій частині (9.8). Тоді бігармонічну функцію напружень можна подати у вигляді
, (9.20)
де .
Формула (9.20) вперше була наведена в роботах Гурса.
9.2. Комплексне подання компонент тензора напружень і вектора зміщень
На підставі (7.31) закон Гука запишемо у вигляді
;
;
. (9.21)
Оскільки , то перші дві формули (9.21) можна подати так
; . (9.22)
Інтегруючи перше співвідношення (9.22) по , а друге – по , знаходимо після певних перетворень
; , (9.23)
де , – деякі функції від однієї змінної. Для визначення цих функцій використаємо третю умову (9.21)
,
з якої визначимо
або ; . (9.24)
Інтегруючи (9.24), знаходимо
; .
Останні співвідношення визначають жорстке зміщення тіла. Відкидаючи ці функції в (9.23) як такі, що не впливають на напружений стан (лінійні функції), одержимо
; (9.25)
або в комплексній формі
. (9.26)
Розглянемо формулу (9.20) і запишемо її в такому вигляді
. (9.27)
Диференціюючи (9.27) по , , одержимо
;
. (9.28)
Додаючи рівності (9.28), визначаємо
. (9.29)
Тут і надалі .
Підставляючи (9.29) в (9.26), знаходимо після певних перетворень
, (9.30)
де .
Для визначення компонент тензора напружень рівність (9.29) продиференціюємо по ,
;
. (9.31)
Із (9.31) складемо такі комбінації
;
. (9.32)
Замість другої формули (9.32) можна використати еквівалентне співвідношення
. (9.33)
Рис. 9.1 |
У випадку першої основної задачі, тобто коли на контурі області (рис. 9.1) задано зовнішні напруження , , граничні умови мають вигляд
; , (9.34)
де ; .
Враховуючи (7.30), співвідношення (9.34) запишемо так
;
або
; . (9.35)
Залежності (9.35) запишемо в комплексній формі
. (9.36)
Підставляючи в (9.36) співвідношення (9.29), знаходимо після інтегрування по контуру граничну умову першої основної задачі
, (9.37)
де – афікс точок контуру ; – довільна комплексна стала.
Якщо на контурі розглядуваної області задано зміщення його точок (друга основна задача), то на підставі (9.30) граничну умову можна подати у вигляді
, (9.38)
де ; – відомі функції на контурі .
У випадку мішаної задачі на одній частині контуру граничні умови мають вигляд (9.37), а на іншій – (9.38).