2.3. Рівняння Ейлера

Виділимо в рідині деякий об’єм . Повна сила, що діє на виділений об’єм рідини, дорівнює інтегралу , де – поверхня, яка обмежує об’єм .

Застосувавши до останнього інтеграла формулу Остроградського, одержимо

(2.9)

(знак мінус означає, що сили діють по внутрішній нормалі).

З цієї формули випливає, що на кожний елемент об’єму діє сила . Іншими словами: на одиницю об’єму рідини діє сила .

Запишемо диференціальне рівняння руху елемента об’єму рідини (другий закон Н’ютона)

або . (2.10)

Тут враховано, що .

Величина виражає не зміну швидкості рідини в даній нерухомій точці простору, а зміну швидкості певної частинки рідини, яка переміщається в просторі. Цю похідну потрібно виразити через величини, віднесені до нерухомих у просторі точок. Для цього зауважимо, що зміна швидкості заданої частинки на протязі часу складається із двох частин: із зміни швидкості в заданій точці простору протягом часу і різниці швидкостей (в один і той же момент часу) в двох точках, розділених вектором , пройденим розглядуваною частинкою рідини за час

.

Перша частина дорівнює , де похідна обчислюється при сталих , тобто в заданій точці простору, друга частина зміни швидкості дорівнює

. (2.11)

Таким чином,

. (2.12)

Розділимо це рівняння на dt

. (2.13)

Підставляючи (2.13) в (2.10), знаходимо після ділення на рівняння Ейлера руху рідини – одне із основних рівнянь гідродинаміки.

(2.14)

Якщо рідина перебуває у полі земного тяжіння, то на кожну одиницю її об’єму діє додаткова сила ( – прискорення земного тяжіння). Ця сила повинна бути додана до правої частини рівняння (2.14)

. (2.15)

Дане векторне рівняння еквівалентне трьом скалярним.

При виведенні рівнянь руху (2.14) і (2.15) не враховано процеси дисипації (втрат) енергії, які можуть мати місце в рухомій рідині внаслідок внутрішнього тертя (в’язкості) і теплообміну між різними її ділянками. Тому все, що говориться в цьому і наступних пунктах відноситься до таких рідин і газів, для яких несуттєві процеси теплопровідності і в’язкості. Ці рідини або гази називаються ідеальними.

Відсутність теплообміну між окремими ділянками рідини, між рідиною і тілами, що дотикаються до неї, означає, що рух проходить адіабатно (без доступу тепла), причому адіабатно в кожному об’ємі рідини. Таким чином, рух ідеальної рідини необхідно розглядати як адіабатний процес.

При адіабатному процесі ентропія кожної частинки рідини залишається постійною при її переміщенні в просторі. Позначивши через ентропію одиниці маси рідини, виразимо адіабатність руху рідини рівнянням

, (2.16)

де повна похідна по часу означає зміну ентропії заданої частинки рідини, яка переміщується в просторі. Її можна записати у вигляді

. (2.17)

Рівняння (2.17) характеризує адіабатність руху ідеальної рідини. За допомогою (2.7) його можна записати у вигляді “рівняння неперервності” для ентропії

. (2.18)

Потрібно мати на увазі, що звичайно рівняння адіабатності приймає значно простішу форму. Якщо в деякий момент ентропія однакова для всіх точок об’єму рідини, то вона залишається однаковою і незмінною в часі при подальшому русі рідини. В цих випадках рівняння адіабатності може бути записано у вигляді

. (2.19)

Рух рідини, при якому має місце умова (2.19), називається ізентропічним. При цьому рівняння руху Ейлера (2.14) може бути записане в іншому вигляді. Використаємо таке термодинамічне співвідношення

, (2.20)

де – теплова функція, – ентропія, – питомий об’єм, – температура, – тиск.

Оскільки , то

(). (2.21)

Рівняння руху (2.14) при цьому запишеться у вигляді

. (2.22)

Корисно навести ще одну форму рівняння Ейлера, в якому міститься тільки швидкість. Для цього використаємо відому формулу із векторного аналізу

. (2.23)

Її підстановка в (2.22) приводить до співвідношення

. (2.24)

Застосуємо до обох частин рівняння (2.24) операцію

. (2.25)

У даному випадку рівняння містить тільки швидкість.

До рівнянь руху необхідно додати граничні умови, які мають місце на стінках (поверхнях), що обмежують рідину. Для ідеальної рідини вони виражають той факт, що рідина не може проникнути через нерухому стінку. Це означає, що на таких стінках нормальна складова вектора швидкості дорівнює нулю

. (2.26)

У загальному випадку поверхні (стінки) дорівнює відповідній компоненті швидкості точок поверхні.

На поверхні розділу двох рідин, що не змішуються, повинні виконуватися умови рівності тисків і умови рівності нормальних зміщень для обох рідин, причому кожна з них дорівнює швидкості нормального зміщення поверхні розподілу рідин.

Як було відзначено раніше, стан рухомої рідини визначається п’ятьма величинами: трьома компонентами вектора швидкості , тиском і густиною . Відповідна цьому повна система гідродинамічних рівнянь для ідеальної рідини має вигляд:

(2.27)