6.3. Пряма і обернена задачі теорії пружності

Розрізняють дві постановки основних задач теорії пружності: пряму та обернену.

Пряма задача полягає в розв’язуванні однієї з основних задач, тобто у визначенні дев’яти функцій і , які визначають напружено-деформований стан тіла в залежності від зовнішньої дії на нього.

Розв’язування прямої задачі часто пов’язано із значними математичними труднощами.

Обернена задача полягає в тому, що задавши або зміщення як неперервні функції , або компоненти тензора напружень , визначають з основних рівнянь (6.1)-(6.4) і відповідних граничних умов усі інші функції, а також зовнішні сили, які викликають задані зміщення або напруження .

Розв’язування оберненої задачі значно простіше ніж прямої. Особливо просто розв’язується обернена задача, якщо задаються зміщеннями . При заданих неперервних функціях диференціальні залежності Сен-Венана виконуються тотожно. Розв’язування цієї оберненої задачі проводиться у такому порядку: на підставі формул закону Гука (6.4) визначаються компоненти тензора напружень , які відповідають заданим зміщенням , а з умов рівноваги (6.3) і граничних умов (6.6) визначаються зовнішні сили, при дії яких реалізуються задані зміщення.

Якщо задавати компоненти тензора напружень , то розв’язування оберненої задачі буде складнішим. У цьому випадку зміщення визначаються інтегруванням рівнянь (6.1), що можливо, якщо компоненти тензора деформації , які визначаються із закону Гука (6.5) за заданими функціями , будуть задовольняти диференціальним залежностям Сен-Венана (6.2).

Отже, компоненти тензора напружень потрібно задавати так, щоб виконувалися умови сумісності (6.2). Ця обставина ускладнює розв’язування оберненої задачі.

Пряму задачу зручніше розв’язувати, якщо за основні невідомі вибираються або зміщення , або напруження . Ці два шляхи розв’язування прямої задачі називають відповідно розв’язуванням в зміщеннях і напруженнях.

6.4. Рівняння пружної рівноваги в зміщеннях

Деякі прямі задачі, зокрема задачі другого типу, зручно розв’язувати у зміщеннях. При цьому основні рівняння необхідно виразити через зміщення.

Рівняння пружної рівноваги у зміщеннях одержимо шляхом виключення компонент тензора напружень із рівнянь рівноваги (6.3), використовуючи закон Гука (6.4).

Розглянемо співвідношення (6.4)

;

; (6.9)

.

Перше з них диференціюємо по друге – по третє – по і додаємо

. (6.10)

Враховуючи, що

; ,

, (6.11)

,

рівність (6.10) запишемо у вигляді

. (6.12)

На підставі (5.21) . Тоді

. (6.13)

Використовуючи диференціальні рівняння рівноваги (6.3), із (6.13) знаходимо

. (6.14)

Рівність (6.14) визначає три диференціальні рівняння

;

; (6.15)

,

які називаються рівняннями пружної рівноваги в зміщеннях, або рівняннями Ламе. Вони виражають умови рівноваги кожного елемента тіла в залежності від і , які характеризують деформований стан тіла, і при цьому враховують закон Гука для ізотропного матеріалу.

Якщо помножити (6.15) на базисні вектори , , відповідно й додати, то одержимо:

. (6.16)

Тут враховано, що .

У багатьох задачах об’ємні сили можна вважати рівними нулю, тоді рівняння Ламе (6.14) приймають вигляд

. (6.17)

Диференціюючи (6.17) по координаті , одержимо внаслідок сумування

. (6.18)

Оскільки , а , то з (6.18) знаходимо, що , тобто об’ємна деформація (при відсутності об’ємних сил або коли вони сталі) є гармонічною функцією.

Застосовуючи до (6.17) диференціальний оператор Лапласа з врахуванням гармонічності функції , знаходимо

. (6.19)

При відсутності об’ємних сил компоненти вектора зміщення – бігармонічні функції. Це твердження справедливе і при сталих об’ємних силах.

Зауважимо, що рівняння (6.19) не означає, що зміщення (при відсутності об’ємних сил) є довільні бігармонічні функції. Вони повинні задовольняти також рівнянням Ламе (6.17).

При розв’язуванні у зміщеннях першої основної задачі для шуканих функцій необхідно мати умови на границі тіла в залежності від прикладених поверхневих сил.

На підставі закону Гука (6.4) маємо

або, якщо врахувати, що , а являє собою похідну від функції по нормалі до поверхні тіла , то

. (6.20)

Тоді граничні умови (6.6) приймають вигляд

. (6.21)

Рівняння Ламе (6.14) разом з граничними умовами (6.21) у випадку першої основної задачі, або разом з граничними умовами (6.7) другої основної задачі повністю визначають три компоненти вектора зміщення. Якщо вони будуть відомі, то за формулами (6.1) можна визначити компоненти тензора деформації, а за формулами (6.4) – компоненти тензора напружень.

Очевидно, що розв’язування у зміщеннях першої основної задачі більш складне, ніж розв’язування другої основної задачі при значно простіших граничних умовах (6.7).

Тому для першої основної задачі перевага надається розв’язуванню у напруженнях.