9.3. Степінь визначеності і структура комплексних потенціалів

За першою із формул (9.32) сума напружень визначається тільки дійсною частиною функції , тому до її уявної частини можна додати сталу . Звідси випливає, що при заданих напруженнях функція визначається з точністю до доданка , а функція , відповідно, – з точністю до (, – дійсні сталі).

Формула (9.33) показує, що при заданому тензорі напружень функція визначається однозначно, а функція – з точністю до сталої .

Таким чином, при заміні

на ;

на (9.39)

напруження не зміняться, а комплексна комбінація зміщень (9.30) одержить приріст

, (9.40)

який виражає собою, як і слід було очікувати, жорстке зміщення тіла.

Із (9.40) випливає, що при заданих зміщеннях сталі , i повинні задовольняти умовам

; . (9.41)

Якщо система координат вибрана так, що її початок знаходиться в області , зайнятій тілом, то довільні сталі , , можна відповідним чином зафіксувати. Наприклад, при заданих напруженнях, коли всі сталі є довільними, систему координат можна вибрати так, що

; ; . (9.42)

Якщо задано зміщення, тоді довільно можна вибирати або . В такому разі можна вважати, що

або . (9.43)

Компоненти тензора напружень і компоненти зміщень, як відомо, – однозначні функції розглядуваної точки тіла. Тому й комплексні потенціали повинні бути також однозначними функціями. Проте аналітичні функції і можуть бути й багатозначними. Значною мірою це залежить від типу області, яку займає розглядуване тіло. Якщо область однозв’язна, то очевидно, ці функції будуть однозначними.

Розглянемо випадок, коли тіло займає неоднозв’язну область із зовнішнім контуром і внутрішніми контуруми (). Перша з формул (9.32) показує, що дійсна частина функції є однозначною для будь-якої області. Отже, при обході вздовж будь-якого контуру , що охоплює контур , дійсна частина приросту не одержить, а уявна частина одержить приріст , де – дійсна стала. При такій зміні функції напружений стан залишається незмінним. Для зручності сталу будемо записувати так: .

Розглянемо тепер функцію

, (9.44)

де – довільно вибрані точки в середині контурів .

Оскільки функція при обході контуру одержує приріст , вираз одержує точно такий приріст, який може мати функція при обході контуру . Інші доданки суми (9.44) приросту не одержують. Таким чином, функція буде вже однозначною. Тому комплексний потенціал в загальному випадку багатозв’язної області можна записати так

, (9.45)

де – голоморфна (однозначна) функція в розглядуваній області, – дійсні сталі.

Далі, інтегруючи (9.45), для функції одержимо

голоморфна функція. (9.46)

Тут враховано, що інтеграл від однозначної функції може бути неоднозначною функцією.

Перегрупувавши доданки у формулі (9.46), одержимо

. (9.47)

Тут – комплексна стала, – голоморфна функція в розглядуваній області .

Розглянемо формулу (9.33), з якої випливає, що функція голоморфна в області . Для функції , аналогічно до попереднього одержимо

, (9.48)

де – голоморфна функція в області , – комплексна стала.

Встановимо тепер, яким умовам повинні задовольняти сталі , , для того, щоб компоненти вектора зміщення були однозначними функціями. Підставляючи (9.47), (9.48) в формулу (9.30), одержимо

або

, (). (9.49)

Покажемо, що величини і можна виразити через компоненти головного вектора зовнішніх зусиль, прикладених до контуру з боку зовнішньої нормалі по відношенню до області . Для цього обчислимо головний вектор зовнішніх зусиль, прикладених до контуру . Нехай , – компоненти зусиль до контуру . На підставі формул (9.29), (9.36) можемо записати

. (9.50)

Виходячи з формул (9.47), (9.48) і (9.50), знаходимо

. (9.51)

На підставі формул (9.49), (9.51) одержимо

; ; . (9.52)

Підставляючи (9.52) в (9.47), (9.48), запишемо вирази для комплексних потенціалів

;

, (9.53)

де , – голоморфні функції в розглядуваній області .

Розглянемо окремо випадок, коли область є нескінченною пластиною з отворами. В такому разі розглядувана область є граничним випадком області, обмеженої контурами , , , , коли контур віддалений “на нескінченність”.

Встановимо структуру комплексних потенціалів в околі нескінченно віддаленої точки області . Для довільної точки зовні контури , який охоплює всі інші контури , маємо , тому

(9.54)

при .

Тоді формули (9.53) для нескінченної багатозв’язної області можна записати у вигляді

;

. (9.55)

Тут ; – компоненти головного вектора зовнішніх зусиль; , – голоморфні функції в області за винятком нескінченно віддаленої точки, де ці функції можуть мати полюси скінченого порядку. Ці функції в околі нескінченно віддаленої точки подамо так

;

, (9.56)

де , – комплексні сталі, які визначаються із умов напруженого стану при ; , – голоморфні функції у всій площині .

Допустимо, що компоненти тензора напружень обмежені в усій розглядуваній області , включаючи нескінченно віддалену точку. Позначимо через , , компоненти тензора напружень при .

Підставляючи (9.56) у формули (9.32), (9.33) при , знаходимо

;

або

; . (9.57)

Решта коефіцієнтів , дорівнюють нулю.

Таким чином, для необмеженої пластинки з одним отвором, коли “на нескінченності” задано однорідне поле напружень, комплексні потенціали мають таку структуру

;

. (9.58)

Тут , – голоморфні в розглядуваній області функції, , – компоненти головного вектора зовнішніх сил, прикладених до контуру отвору; , – сталі, що визначаються за формулами (9.57).