4.4. Перетворення компонент тензора напружень при повороті системи координат
Компоненти
тензора напружень
,
як тензора другого рангу, при повороті
координатних осей перетворюються за
тими ж формулами, що і компоненти тензора
деформації
.
Приймаючи для координат базисних векторів нової системи координат відносно старої ті ж самі позначення, що і в таблиці 3.1, із співвідношень (3.31) одержимо
;
;
;
;
(4.25)
;
.
Координатні
осі можуть бути повернуті довільно,
тому формули (4.25) дозволяють обчислювати
нормальні напруження
і дотичні напруження
(
)
на довільній площадці, що проходить
через розглядувану точку тіла.
4.5. Головні напруження і інваріанти тензора напружень
Розглянемо
задачу зведення матриці тензора напружень
до діагонального вигляду. Як і у випадку
тензора деформації, визначення головних
напружень зводиться до розв’язування
характеристичного рівняння
(4.26)
або
, (4.27)
де
;
;
(4.28)
– інваріанти тензора напружень.
Корені
рівняння (4.27)
,
,
називається головними
напруженнями.
Головні
напрямки
тензора напружень визначаємо із системи
рівнянь
. (4.29)
Визначник системи (4.29) дорівнює нулю, тому вона має ненульовий розв’язок, який визначає відповідний головний напрямок тензора напружень.
Якщо координатні осі сумістити з головними осями тензора напружень, то матриця тензора напружень приймає діагональну форму
. (4.30)
Це означає, що напружений стан у заданій точці можна розглядати як розтяг (стиск) в трьох взаємноперпендикулярних (головних) напрямках.
Для
доведення інваріантності величин
,
,
необхідно вирази (4.25) підставити в праві
частини (4.28) і зробити відповідні
перетворення. Додавши перші три рівності
(4.25), одержимо
. (4.31)
Сума нормальних напружень, які діють на трьох взаємно-перпендикулярних площадках, є величина стала.
РОЗДІЛ 5
Основи теорії пружності (співвідношення між компонентами тензора напружень)
Геометричну теорію деформації і статичну теорію напружень розглянуто при допущенні про деформівне тіло як про суцільне середовище. Тому ці теорії і одержані залежності справедливі для довільного суцільного середовища, яке може бути і газоподібним, і рідким, і пружним твердим тілом.
Із
міркувань фізичного характеру зрозуміло,
що деформований стан тіла (суцільного
середовища) і його напружений стан, які
викликані зовнішніми силами або тепловою
дією, взаємнообумовлені, тобто повинні
мати місце деякі співвідношення між
компонентами
тензора напружень і компонентами
тензора деформації.
Ці
співвідношення необхідні і з математичної
точки зору. Дійсно, деформований стан
тіла описується трьома неперервними
функціями
,
через які на основі залежностей Коші
(3.14) визначаються компоненти тензора
деформації, а напружений стан тіла
визначається шістьма незалежними
компонентами
тензора напружень. Однак, для визначення
цих дев’яти функцій в залежності від
зовнішньої дії на тіло поки що маємо
лише систему трьох диференціальних
рівнянь рівноваги (4.18), розв’язок яких
повинен задовольняти граничним умовам
на поверхні тіла (наприклад (4.10)). Така
система рівнянь називається незамкненою,
так як не дозволяє визначити функції
і
,
якими не були б для них граничні умови.
Це зрозуміло, оскільки не враховані
фізичні властивості розглядуваного
суцільного середовища.
Таким чином, для математичного формулювання задачі про визначення напружено-деформованого стану тіла необхідно мати ще шість залежностей між названими дев’ятьма функціями. Очевидно, що ці залежності повинні відображати фізичну сторону даної задачі для конкретної моделі суцільного середовища, яка наділена певними властивостями її механічної поведінки. Ці залежності називаються законом поведінки або законом стану розглядуваного суцільного середовища. Встановлення закону стану приводить до замкненої системи рівнянь, яка дозволяє визначити реалізоване в тілі поле напружень і поле переміщень при заданій зовнішній дії на нього.