2.5. Умова відсутності конвекції

Рідина може перебувати у механічній рівновазі (в ній відсутній макроскопічний рух), не перебуваючи при цьому в тепловій рівновазі. Рівняння (2.28), яке є умовою механічної рівноваги, має місце і при змінній температурі в рідині. Але при цьому виникає питання, чи буде така рівновага стійкою? Виявляється, що рівновага буде стійкою при виконанні певної умови. Якщо ця умова не виконується, то рівновага нестійка, що приводить до появи в рідині хаотичних течій, які намагаються змішати рідину так, щоб у ній встановилася постійна температура. Такий рух носить назву конвекції. Умова стійкості механічної рівноваги є іншими словами умовою відсутності конвекції. Ця умова може бути виведена таким способом.

Розглянемо елемент рідини, який перебуває на висоті і має питомий об’єм (об’єм одиниці маси), де і – рівноважний тиск і ентропія рідини на цій висоті. Допустимо, що цей елемент рідини піддано адіабатному зміщенню на малий відрізок вгору. Його питомий об’єм стане , де – тиск на висоті . Для стійкої рівноваги необхідно, щоб сила, яка виникає при цьому, намагалася повернути елемент у початкове положення. Це означає, що розглядуваний елемент повинен виявитися більш важким, ніж “витіснена” ним у новому положенні рідина. Питомий об’єм останньої є , де – рівноважна ентропія рідини на висоті . Таким чином, умова стійкості має вигляд

.

Зауважимо, що важчим буде той елемент, у якого більша густина.

Розкладемо різницю в лівій частині за степенями . Тоді при маємо

. (2.42)

Згідно із законами термодинаміки можна записати

; , (2.43)

де – питома теплоємність при сталому тиску.

Теплоємність , як і температура , завжди додатні, тому і величини , мають один і той знак. Це означає, що нерівність (2.42) можна записати у вигляді

. (2.44)

Більшість рідин і газів при нагріванні розширюються, тому , і умова відсутності конвекції зводиться до нерівності

, (2.45)

на підставі якої ентропія повинна зростати з висотою.

Знайдемо умову, якій повинен задовольняти градієнт температури . Розглянемо ліву частину нерівності (2.45)

.

Враховуючи, що (див. формулу (2.29), одержимо умову відсутності конвекції

. (2.46)

Остання нерівність показує, що конвекція буде відбуватися, якщо температура зменшується із збільшенням висоти, причому її градієнт більший за абсолютною величиною від .

Якщо мова йде про рівновагу стовпа газу, який можна вважати ідеальним, то і умова стійкості рівноваги приймає вигляд

. (2.47)

При виконанні умови (2.47) газ не буде перемішуватися.

2.6. Рівняння Бернуллі

Рівняння гідростатики помітно спрощується, якщо рух рідини стаціонарний, тобто якщо швидкість руху залишається постійною з часом і залежить тільки від координат точок рідини. У цьому випадку , тому рівняння (2.24) можна записати так

, (2.48)

де – теплова функція одиниці маси рідини.

Введемо поняття лінії течії як лінії, дотичні до яких вказують напрям вектора швидкості в точці дотику в даний момент часу. Ці лінії визначаються системою диференціальних рівнянь

.

При стаціонарному русі рідини лінії течії залишаються незмінними з часом і співпадають з траєкторіями частинок рідини. При нестаціонарному русі такого співпадання, звичайно, нема. Дотичні до лінії течії дають напрями швидкості різних частин рідини в послідовних точках простору в заданий момент часу. В той же час дотичні до траєкторій визначають напрям швидкості заданих частинок у послідовні моменти часу.

Помножимо рівняння (2.48) на одиничний вектор дотичної до лінії течії в кожній її точці. Цей вектор позначимо через . Проекція градієнта на деякий напрям дорівнює, як відомо, похідній, обчисленій за даним напрямом. Тому шукана проекція від дорівнює .

Вектор перпендикулярний до , тому його проекція на напрям дорівнює нулю. Таким чином із рівняння (2.48) одержимо

. (2.49)

Ця рівність означає, що вздовж лінії течії

. (2.50)

Значення для різних ліній течії різне.

Рівняння (2.50) називається рівнянням Бернуллі. Якщо рух рідини відбувається у полі тяжіння, то до правої частини рівняння (2.48) потрібно додати прискорення земного тяжіння .

Виберемо напрям сили тяжіння за напрям осі , причому додатні значення відраховуються вгору. Тоді

; ; .

Якщо рівняння (2.48) записати у вигляді

і помножити на скалярно, то у результаті цього одержимо

. (2.51)

Рівняння Бернуллі показує, що вздовж лінії течії залишається постійною сума

. (2.52)

Змінюючи рівняння стану, можна розглядати конкретні задачі гідродинаміки для реальних рідин (стисливих, в’язких і інших).

РОЗДІЛ 3