Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Балтийский федеральный университет им. И.Канта
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kretov_vse

.pdf
Скачиваний:
118
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
3.26 Mб
Скачать
☆

§ 9.6. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚р‡˘ВМЛfl

Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности вращения:

3077.

Дуга параболы y2 = 2x, x [0; 4] вокруг оси Ох.

3078.

Эллипс

x2

+

y2

=1 вокруг оси Оу.

a2

b2

 

 

 

 

3079.

Окружность r = 4sinϕ вокруг полярной оси.

3080.

Окружность r = 2cosϕ вокруг полярной оси.

3081. Дуга кривой

y = 1 x3 от x = −1 до x =1 вокруг оси

 

 

 

 

 

3

Ох.

3082. Отрезок с началом в точке О(0; 0) и концом в точке A(R; H) вокруг оси Оу.

3083. Дуга кривой y = sin 3x, 0 ≤ x ≤ π

вокруг оси Ох.

 

1 y2

 

1 ln y, 1 ≤ y ≤ e

3

 

 

 

3084. Кривая

−

вокруг оси Оy.

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

sin t

 

 

 

 

π

 

 

 

x = e

 

,

от t1

= 0

до t2 =

вокруг

3085. Дуга линии

 

 

t

 

 

 

2

 

 

y = e cost

 

 

 

 

 

 

оси Ох.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

,

0 ≤ t

≤ 2

2 вокруг оси Ох.

3086. Дуга кривой

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

0 ≤ t ≤ 4 2 вокруг оси Ох.

3087. Дуга кривой

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4

−

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3088. Кардиоида r =10(1+cosϕ) вокруг полярной оси.

311

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

3089. Дуга кривой r =

1

 

, 0 ≤ϕ ≤

π

вокруг поляр-

 

 

2

 

cos

2 ϕ

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной оси.

3090. Окружность x2 +( y −2)2 =1 вокруг оси Ох.

3091. Тангенсоида y = tgx от x = 0 до x = π4 вокругосиОх.

§ 9.7. лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУПВМЪ˚ Л ПУПВМЪ˚ ЛМВрˆЛЛ

Пусть на плоскости ХОУ задана система материальных то-

чек A1 (x1; y1 ), A2 (x2 ; y2 ),..., An (xn ; yn ) с массами m1, m2 ,...mn .

Определение 1. Статическим моментом Мх этой системы относительно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты:

 

n

 

M x

= ∑mk yk .

(9.7.1)

 

k =1

 

Аналогично определяется статический момент системы

относительно оси Оу:

 

 

 

n

 

M y

= ∑mk xk .

(9.7.2)

k =1

Определение 2. Моментами инерции Ix и Iy системы относительно осей Ох и Оу называются суммы произведений масс точек на квадраты их расстояний от соответствующей оси, то есть

n

 

n

 

 

I x = ∑mk yk

2 ,

I y = ∑mk xk

2 .

(9.7.3)

k =1

 

k =1

 

 

За статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур принимаются соответствующие моменты условных масс, равномерно распределенных вдоль этих дуг и фигур с плотностью, равной единице.

312

§ 9.7. лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУПВМЪ˚ Л ПУПВМЪ˚ ЛМВрˆЛЛ

Статические моменты и моменты инерции дуги плоской кривой y = f (x), (a ≤ x ≤ b) вычисляются по формулам:

M x

= ∫b

ydl ,

M y = ∫b

xdl;

(9.7.4)

 

a

 

a

 

 

 

b

 

Iy = b∫ x2dl,

 

I x

= ∫ y2 dl ,

(9.7.5)

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

где dl — дифференциал дуги кривой, который определяется по формулам:

1) dl = 1+ y '2 dx, если дуга задана уравнением y = f (x);

2)dl = (xt ')2 +( yt ')2 dt, если дуга задана параметрически;

3)dl = r2 +(rϕ ')2 dϕ, если дуга задана в полярной сис-

теме координат.

Статические моменты и моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью Ох, и двумя прямыми х = a и x = b, вычисляются по формулам:

 

 

 

 

2

 

∫a

 

 

2

∫a

 

 

 

M x =

1

b

ydS =

1

b

y2dx ;

(9.7.6)

 

 

 

 

 

M y

= ∫b

xdS = ∫b

xydx ;

(9.7.7)

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

1 b

 

2

 

1 b

 

3

 

I x

=

 

 

∫a

y dS =

 

 

∫a

y dx ;

(9.7.8)

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 b

 

2

1 b

2

 

 

I y

=

 

∫a

x dS =

 

∫a

 

 

(9.7.9)

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ydx .

В формулах (9.7.6—9.7.9) dS = ydx — дифференциал площади криволинейной трапеции.

313

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

бДСДзаь

3092. Найти статический момент и момент инерции полу-

окружности y = r2 − x2 (−r ≤ x ≤ r) относительно оси Ох. 3093. Найти момент инерции площади эллипса x = a cost,

y = b sint относительно оси Оу.

3094. Найти статические моменты и моменты инерции дуги астроиды x = a cos3t, y = a sin3t, лежащей в первой четверти.

3095. Найти статический момент и момент инерции дуги

цепной линии y =

a

 

x

+e

−

x

 

, где

0 ≤ x ≤ a, относительно

 

 

2

ea

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оси Ох.

3096. Вычислить статический момент относительно оси х-ов

дугикосинусоиды y = cosx отточки x = −

π доточки x

= π .

 

 

 

 

1

2

2

2

 

 

 

 

 

 

3097. Вычислить статический момент относительно оси х-

ов дуги эллипса

x2

+

y2

=1, расположенной в верхней полу-

a2

b2

 

 

 

 

 

 

плоскости (в частности, полуокружности

x2 + y2 = a2 ,

 

распо-

ложенной над осью х-ов).

3098. Вычислить момент инерции отрезка АВ длины l относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, если концы А и В отрезка отстоят от этой оси на расстоянии, соответственно равном a и b (b ≥ a).

3099. Вычислить момент инерции дуги окружности радиуса r, соответствующей центральному углу α , относительно диаметра, проходящего через один из концов этой дуги. В частности, вычислить момент инерции окружности относительно диаметра, положив α = 2π.

314

§ 9.7. лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУПВМЪ˚ Л ПУПВМЪ˚ ЛМВрˆЛЛ

3100. Вычислить момент инерции окружности радиуса r относительно оси, находящейся с ней в одной плоскости и отстоящей от центра ее на расстоянии b (b > r) .

3101. Вычислить момент инерции сектора круга радиуса r, соответствующего центральному углу α , относительно одного из крайних его радиусов.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод-

вижной оси, равна 12 Iω2 , где ω — угловая скорость, а I —

момент инерции относительно оси вращения.

3102. Вычислить кинетическую энергию прямоугольной пластинки, стороны которой равны а см и b см (a > b) , вра-

щающейся с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг оси, проходящей через ее центр параллельно большей стороне.

3103. Пластинка, имеющая форму круга радиуса r см, вращается с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг оси, находящейся с ней в одной плоскости и отстоящей от ее центра на расстоянии d (d > r) . Вычислить кинетическую энергию

этой пластинки.

3104. Пластинка, имеющая форму треугольника с основанием а см и высотой h см, вращается с постоянной угловой скоростью ω с– 1 вокруг стороны а. Вычислить кинетическую энергию этой пластинки.

3105. Доказать, что момент инерции Ix дуги M1M2 , взятый относительно оси х, равен моменту инерции It этой дуги, взятому относительно оси t, параллельной оси х и проходящей через центр тяжести дуги M1M2 , сложенному с произведе-

нием длины дуги на квадрат расстояния между осями.

3106. Найти статический момент и момент инерции треугольника с основанием а и высотой h относительно его основания.

3107. Найти момент инерции параболического сегмента, ограниченного параболой y = 4 − x2 и прямой у = 3 относительно оси Ох.

315

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

3108. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно осей симметрии прямоугольника.

3109. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу треугольника, ограниченного прямыми x+y= 1, x= 0, y= 0.

3110 Вычислить момент инерции квадрата со стороной а относительно диагонали.

3111. Вычислить момент инерции правильной шестиугольной пластинки относительно ее оси симметрии, проходящей через противоположные вершины. Сторона шестиугольника а.

3112. Найти статические моменты относительно осей ко-

ординат отрезка прямой ax + by =1, заключенного между осями

координат.

3113. Найти статический момент относительно осей коорди-

2

2

2

нат дуги астроиды x3 + y3 = a3 , лежащей в первом квадрате. 3114. Найти статический момент относительно оси Ох фигу-

ры, ограниченной следующими линиями: y = 1+2x2 и y = x2 .

3115. Найти момент инерции дуги окружности радиуса а, соответствующей центральному углу ϕ .

3116. Найти момент инерции прямого параболического сегмента с основанием 2b и высотой h относительно его оси симметрии.

3117. Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями a и b относительно ее главных осей.

§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ

Координаты центра тяжести однородной дуги плоской

кривой y = f (x) (a ≤ x ≤ b) выражаются формулами:

 

 

l ∫a

 

 

 

 

l ∫a

 

 

x =

1

b

xdl ,

y

c

=

1

b

ydl ,

(9.8.1)

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

316

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ

где dl — дифференциал дуги кривой, который определяется по формулам:

1) dl = 1+ y '2 dx, если дуга задана уравнением y = f (x);

2)dl = (xt ')2 +( yt ')2 dt, если дуга задана параметрически;

3)dl = r2 +(rϕ ')2 dϕ, если дуга задана в полярной систе-

ме координат; а l — длина дуги.

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции вычисляются по формулам:

 

 

 

 

S

∫a

S ∫a

 

 

x

 

=

1

b

xdS =

1 b

xydx ,

(9.8.2)

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yc

=

1

b

ydS =

1

b

y2dx ,

(9.8.3)

2S

∫a

2S

∫a

 

 

 

 

 

 

где dS = ydx, a S — площадь фигуры.

Координаты центра тяжести однородного тела (с объемной плотностью ρ =1 ), образованного вращением криволинейной

трапеции, ограниченной кривой y = f (x), f (x) ≥ 0,

осью х-ов

и прямыми x1 = a,

x2 = b (b > a) ,

вокруг оси х-ов опреде-

ляются по формулам:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

∫b

y2 xdx

 

 

 

 

 

 

=

a

 

; y

c

= z

c

= 0 .

(9.8.4)

b

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫y2dx

 

 

 

 

 

 

a

Теоремы Гульдина.

Теорема 1 . Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кри-

317

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

вой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2 . Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

бДСДзаь

3118. Найти центр тяжести полуокружности x2 + y2 = a2 ,

расположенной над осью х-ов.

3119. Найти центр тяжести дуги круга радиуса а, соответствующей центральному углу α и расположенной симметрично относительно оси х-ов. Доказать, что центр тяжести лежит на биссектрисе центрального угла и расстояние его от центра круга так относится к радиусу, как длина хорды, стягивающей дугу, к длине этой дуги.

2

2

2

3120. Найти центр тяжести дуги астроиды x3 + y3 = a3 , расположенной над осью х-ов.

3121. Найти центр тяжести ветви циклоиды: x = a(t −sin t), y = a(1−cost).

3122. Найти

 

центр тяжести дуги цепной линии

y =

a

 

x

+e

−

x

 

 

 

 

 

от вершины S (x = 0) до произвольной точ-

2

ea

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ки М. Доказать, что абсцисса центра тяжести х0 равна абсциссе точки пересечения касательных, проведенных к вершине S цепной линии и в точке М. Ордината же у0 равна половине отрезка, отсекаемого от оси у-ов нормалью, проведенной к кривой в точке М.

3123. Найти центр тяжести площади четверти эллипса

 

x2

+

y2

=1, лежащей в первом квадранте.

 

a2

b2

 

 

 

318

 

 

 

§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ

3124. Найти центр тяжести трапеции, ограниченной параболой y = −ax2 +b (a > 0,b > 0) и осью х-ов.

3125. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной косинусоидой от точки x1 = −π2 до точки x2 = π2 и осью х-ов.

3126. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной полукубической параболой ay2 = x3 и прямой x = a (a > 0).

3127. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной параболами y2 = 2 px и x2 = 2 py.

3128. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной косинусоидой y = cosx от точки x1 = −π2 до точки x2 = π2 и

прямой

y =

1 .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3129. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной

прямой

y =

2

x, синусоидой y = sin x и осью х-ов (x > 0).

 

 

 

π

 

 

 

 

3130. Найти центр тяжести плоской фигуры,

лежащей в

первом квадранте и ограниченной эллипсом

x2

+

y2

=1, ок-

a2

b2

 

 

 

 

 

 

ружностью x2 + y2 = a2 и осью у-ов.

3131. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить величину поверхности и объем тела, полученного вращением равностороннего треугольника со стороной, равной а, вокруг оси, отстоящей от его центра тяжести на расстоянии d (d > a).

3132. Пользуясь теоремой Гульдина вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением круга радиуса r около непересекающей его оси, если расстояние центра круга от оси вращения равно h (h > r).

3133. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить объем тела, полученного вращением эллипса с осями 2а и 2b (a>b) вокруг прямой, параллельно большой оси эллипса и отстоящей

319

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

от нее на расстоянии d (d >a). В частности, вычислить объем тора, положив а=b.

3134. Правильный п-угольник со стороной а вращается вокруг одной из своих сторон. Найти площадь поверхности и объем полученного тела вращения.

3135. Пусть центр тяжести периметра выпуклого п-уголь- ника отстоит от одной из его сторон а0 на расстоянии dn. Обозначим через dn-1 расстояние от стороны а0 до центра тяжести фигуры, полученной из данного п-угольника путем удаления

стороны а0. Доказать, что d

n−1

=

P

d

n

, где Р — периметр

P −α0

 

 

 

 

п-угольника, α0 — длина стороны а.

3136. Найти центр тяжести конуса, высота и радиус основания которого равны соответственно h и r.

3137. Найти центр тяжести nела, образованного вращением сектора круга около одного из крайних его радиусов.

3138. Найти центр тяжести тела, образованного вращением

вокруг оси у-ов фигуры, ограниченной гиперболой

x2

−

y2

=1

a2

b2

 

 

 

и прямыми y= 0, y= b (b >0).

3139. Найти центр тяжести тела, образованного вращением вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной параболой у2 =4рх, осью х-ов и прямой х=а.

3140. Найти координаты центров тяжести однородных площадок, ограниченных линиями:

а) y = 0, y = cos 2x, x = 0, где 0 ≤ x ≤ π4 ;

б) y = 0,

x =

π

,

y = sin 3x, где

π

≤ x ≤

π

;

 

 

6

 

 

 

 

6

 

3

 

в) y = 0,

x =π,

 

y = sin

x

, где 0 ≤ x ≤π .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3141. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму полукруга. Радиус круга R.

320

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности