Kretov_vse

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ

Пустьфункциядвух переменных u = f (x; y) заданавнекоторой окрестности точки M (x; y). Рассмотрим некоторое направ-

ление l , определяемое единичным вектором e ={cosα; cos β}, где cosα 2 + cos β 2 =1. На прямой l , проходящей по этому направлению через точку М, возьмем точку M1 (x + ∆x, y + ∆y). Тогда

При этом ∆x = ∆l cosα, ∆y = ∆l cos β.

362

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

и cos γ — координаты единичного вектора e направления l , то

Таким образом, градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

Так как поверхность уровня функции u = f (x; y; z) задается уравнением f (x; y; z)= С, то ее дифференциал:

Из формулы (10.8.10) следует, что градиент в данной точке ортогонален к поверхности уровня.

В случае функции двух переменных все остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня.

Понятие градиента функции u = f (М) в точке M (x1; x2 ; ...; xm ) обобщается на случай любого числа переменных m:

364

§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ

При этом для производной по направлению также имеет место:

где e = {cosα1; cosα2 ;...; cosαm }.

бДСДзаь

3563. Найти производную функции z=2,5x2 –5xy+3y2 +5y в точке А(1; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол 30°. Определить направление максимального роста данной функции в данной точке.

3564. Найти производную функции z=3x2+5y2 в точке А(1; –1) по направлению к точке В(2; 1).

3565. Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке М(1; 1) функции z=x3y–5xy2 +8.

3566. Найти производную по направлению функции z=ln(еx +еy). Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла.

3567. Найти производную по направлению функции z=x2 + y2 в точке М(1; 1). Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол:

ке М(2; 3; 1). Рассмотреть случаи, когда направление сов-

365

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

падает: 1) с направлением радиуса-вектора этой точки; 2) с направлением вектора a = 4i −3 j.

3570. Найти производную функции z =x2 – xy– 2y2 в точке Р(1; 2) в направлении, составляющем с осью Ох угол в 60˚.

3571. Найти производную функции z =x2 – 2x2y+ хy2 + 1 в точке М(1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке

N(4; 6).

3572. Найти производную функции z=ln x2 + y2 в точке

Р(1; 1) в направлении биссектрисы первого координатного угла. 3573. Найти производную функции u =x2 – 3yz+ 5 в точке М(1; 2; – 1) в направлении, составляющем одинаковые углы со

всеми координатными осями.

3574. Найти производную функции u=xy+yz+zх в точке М(2; 1; 3) внаправлении, идущем от этой точки к точке N(5; 5; 15).

3575. Найти производную функции u =ln(еx +еy +еz) в начале координат в направлении, образующем с осями координат Ох, Оy, Оz углы, соответственно α, β,γ.

Найти gradz :

3576. z =4 – x2 – y2 в точке М(1; 2).

3578. z =(x– y)2 в точке М(1; 1).

2x

3579. z = ex2 +y2 в точке М(1; 1). 3580. z = x2 + y2 – 3xy в точке М(2; 1).

3581. z = x2 − y2 в точке М(5; 3). 3582.u =xyz в точке М(1; 2; 3).

Найти gradu и gradu :

3583. u = x2 + y2 − z2 в точке M (1; −1; 2). 3584. u = 4 − x2 − y2 + z2 в точке M (3; 2;1).

366

§ 10.8. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. Йр‡‰ЛВМЪ

3585. u = x2 + y2 + z2 в точке M (−1; 2; 0). 3586. u = xyz в точке M (3; −1; 2).

3587. Найти величину и направление grad u в точке

(2; – 2; 1), если u = x2 + y2 + z2.

3588. Найти угол между градиентами функции z=ln xy в

точках А 12 ; 14 и B(1; 1).

3589. Найти направление максимального роста функции z =3x2 +xy– 2y2 в точке А(2; 1). Найти также наибольшее из значений производных по разным направлениям в точке А.

3590. Даны функция z= x2 + 3y3 – xy, точка А(1; 1) и вектор a = {– 5; 12}. Найти а) grad z( A); б) производную в точке А

по направлениюa .

3591. Построить линию уровня функции z=4 – x2 – y2, проходящую через точку А(1; 1). Построить grad z( A) и убедиться, что он перпендикулярен построенной линии уровня.

3592. Для функции z=arctg xy построить линии уровня и

градиент. Сравнить их направления в точках (1; 1) и (1; – 1). 3593. Найти наибольший рост поверхности z=xy в точке

(4; 2).

3594. Найти производную функции z=ln(еx +еy) в направлении, параллельном биссектрисе первого координатного угла.

3595. Определить производную функции f(x, y, z)=x2y2 +x2z2+

диент этой функции, его величину и направляющие косинусы.

367

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

3596. Найти градиент функции u=x2 +y2 +z2 и ее производ-

ную в точке А(1; 1; 1) в направлении l ={сos45˚; сos60˚; сos60˚} построить поверхность уровня через А.

3597. Построить поверхность уровня функции u=x2 +y2 –2z,

а также найти и построить grad u в точках пересечения поверхности u =4 с осью Оx.

§10.9. щНТЪрВПЫП ЩЫМНˆЛЛ

Пусть функция u =f(М) определена на некотором множестве, а M0 (x10 ; x20 ; ...; xm0 ) — некоторая точка этого множества.

Определение 1. Функция u=f(М) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М0 из области определения функции, что для любой точки М(х1; х2; …; хm) из этой окрестности выполняется неравенство:

Необходимое условие локального экстремума: если функ-

ция u =f(х1; х2; …; хm) имеет в точке M0 (x10 ; x20 ; ...; xm0 ) локаль-

ный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные в точке М0 равны нулю, то есть

Условие (10.9.2) равносильно следующему:

Условие (10.9.2) или (10.9.3) не является достаточным для локального экстремума.

Определение 2. Точка М0, для которой выполняется условие (10.9.2) или (10.9.3), называется стационарной точкой функции u =f(М).

368

§ 10.9. щНТЪрВПЫП ЩЫМНˆЛЛ

Достаточное условие экстремума.

Пусть в стационарной точке М0 и в некоторой ее окрестности функция u =f(х1; х2; …; хm) имеет все непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, если в этой точке d2u является знакоопределенной квадратичной формой от дифференциалов dх1, dх2, …, dхm независимых переменных, то данная функция и имеет в точке М0 локальный экстремум. При этом: 1) если d2u > 0, то это локальный минимум; 2) если d2u< 0, то это локальный максимум. Если же d2u является знакопеременной формой в точке М0, то функция u=f(х1; х2; …; хm) не имеет локального экстремума.

Пусть u =f(х1; х2) — функция двух переменных. Обозна-

М0(х0; у0). Тогда достаточное условие экстремума для этой функции будет иметь вид:

1)если a11a22 − a122 >0 и а11 <0, то (х0; у0) — точка максимума;

2)если a11a22 − a122 >0 и а11 >0, то (х0; у0) — точка минимума;

3)если a11a22 − a122 < 0, то (х0; у0) не является точкой экстремума;

4)если a11a22 − a122 = 0, то точка М0(х0; у0) может как быть, так и не быть точкой экстремума.

Для нахождения экстремума функции в замкнутой области D сначала находят все локальные экстремумы внутри области D, а

затем наибольшее и наименьшее значения на ее границе. Сравнивая полученные величины, находим наименьшее и наибольшее значения функции в области D.

Поиск экстремума функции u =f(х1; х2) при условии, что точки (х1; х2) удовлетворяют уравнению ϕ (х1; х2) = 0, сводится

которая называется функцией Лагранжа, а λ — множитель Лагранжа.

369

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

бДСДзаь