Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5036 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВﬂ‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

ϕm (T )) дифференцируема в точке Т. При этом частные производные сложной функции определяются по формулам:

∂u

∂x1 +

∂u

∂x2

+... +

∂u

∂xm ,

(10.5.3)

∂t

∂x

∂t

∂x

∂t

где частные

производные

∂u

,…,

∂u

берутся

в точ-

∂x

ке М, а частные производные функций

xi по аргументам t j

берутся в точке Т. Рассмотрим подробно случай функции двух переменных. Если для дифференцируемой u = f (x, y) двух переменных аргументы х и у являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t, то есть x = x(t), y = y(t), то u = f (x(t); y(t)) есть функция одной переменной t, при этом

du	=	∂u	dx	+	∂u	dy .	(10.5.4)
dt		∂x	dt		∂y
						dt

Если же t совпадает с одним из аргументов, например t=x, то

∂u	=	∂u	+	∂u	dy .	(10.5.5)
∂x		∂x		∂y
					dx

Пусть аргументы х и у функции u = f (x, y) являются функциями двух переменных, например x = x(t1 , t2 ), y = y(t1 , t2 ), тогда u = f (x(t1 ;t2 ); y(t1 ;t2 )) также является функцией двух переменных t1 и t2 . В этом случае при выполнении всех условий дифференцируемости будут иметь место следующие формулы:

∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y , ∂t1 ∂x ∂t1 ∂y ∂t1

∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y . ∂t2 ∂x ∂t2 ∂y ∂t2

(10.5.6)

(10.5.7)

351

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Дифференциал сложной		функции						u = u(x; y), где
x = x(t1 ;t2 ), y = (t1; t2 ),	определяется по формуле:
du =	∂u dt +		∂u		dt		,	(10.5.8)

	∂t	1	∂t	2		2
	1

то есть не зависит от того, являются ли х и у независимыми переменными или функциями других независимых переменных. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала.

Определение. Функция u = u(x; y) называется неявной функцией переменных х и у, если она определяется уравнением F (x; y; u)= 0, неразрешенным относительно u.

Если функция F(x; y;u) дифференцируема по переменным

х, у, u, в некоторой области и Fu '(x; y;u)≠ 0 , то уравнение

F(x; y;u)= 0

определяет

однозначную неявную

функцию

u(x; y), также дифференцируемую u

∂u

= −

Fx '(x; y;u)

∂u

Fy '(x; y;u)

∂x

∂y = −

(10.5.9)

Fu '(x; y;u)

бДСДзаь

Найти ∂u

, если u = u(x; y),

x = x(t),

y = y(t):

∂t

3459. u = e x2 +y2 , x = cos 2t,

y = a sin t.

3460. u = x5

+ 2xy − y3 ,

x = cos 2t,

y = arctgt.

3461. u = x2

+ y 2 + xy,

x = a sin t,

y = a cos t.

3462. u = cos (2t + 4x

− y)

, x =

y = ln t .

352

§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВﬂ‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

3463. u = x2 y3 ,

x = t,

y = sin t.

3464. u = e xy ln(x + y),

x = t 3 ,

y =1 − t 3 .

3465. u = xyarctg(xy),

x = t 2 +1, y = t 3 .

3466. u = e2 x−3 y ,

x = tgt, y = t 2 − t.

3467. u = x y ,

x = ln t,

y = sin t.

3468. u = arctg

, x = e2t +1,

y = e2t −1.

3469. u = x4 + y 4

− 4x2 y 2 ,

x = e2t , y = e2t .

3470. u = xy +

x = tgt,

y = ln t.

3471. u =

x = arctg2t,

y = arcsin t.

y 2

3472. u =

x = 5t2 ,

y = arccos 2t.

+ y 2

3473. u = x sin(x + y),

x =

y = (t −1)2 .

t 3

3474. u =

cos x2

x = ln(t + 2),

y = tgt.

3475. u = tg

x = cos2 t, y = sin 2t.

Для

данных

z = f (x; y),

x = x(u; v) y = y(u;v) найти

∂z

, ∂z

и dz:

∂u

∂v

3476. z = x3 + y3 , где x = uv,

y =

353

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

3477. z =

x2 − y2 ,

где x = uv ,

y = u ln v.

3478. z = cos xy, где x = uev ,

y = v ln u.

3479. z = arctgxy,

где x =

u2 +v2 ,

y = u −v.

3480. z =

x + y,

где x = utgv,

y = uctgv.

3481. z = ln 7

x2 +3y5 , где x = u cos v,

y = u sin v.

Найти

производные

′

неявных

функций,

заданных

y (x)

уравнениями:

3482. xe2 y

− y ln x =8.

3483. e y

+ 9x2 e−y − 26x = 0.

3484. ln

x2 + y 2

= arctg

y .

3485. x2

ln y − y 2 ln x = 0.

3486.1 + xy − ln(e xy + e−xy )= 0.

3487. Найти

∂z

и dz для неявной функции z = f (x; y),

∂x

∂y

определенной уравнением z3 + 3x2 y + xz + y 2 z 2

+ y − 2x = 0.

3488. Найти z′x

и z′y , если x + y + z = e−(x+y+z ).

Найти

∂z

и dz для неявных функций z = f (x; y), опре-

∂x

∂y

деляемых следующими уравнениями:

3489. z3 − 3xyz = R2 .

3490. x + y + z = e z .

3491.

y 2

=1.

a 2

3492. Найти

∂z

если

z = u 2 ln v ,

где

u =

∂x

∂y

v = x2 + y2 .

354

§ 10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВﬂ‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

3493. Найти dz, если z = f (u, v), где u =

2 y

, v = x2

−3y.

x + y

3494. Найти

∂z

, если

z = f (u, v),

где

u = ln(x2

− y 2 ),

∂x

∂y

v = xy2 .

Найти dz, если:

3495. z = u 2 v − uv2 ,

где u = x sin y,

v = y cos x.

3496. z = f (u, v), где u = cos xy,

v = x5 − 7 y.

3497. z = f (u, v), где u = sin

v =

x .

§10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡ﬂ Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ

Пусть M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) фиксированная точка на поверхности σ, заданной функцией z = f (x; y) или уравнением F(x; y; z)= 0.

Определение 1. Касательной плоскостью к σ в точке M 0 называется плоскость α, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на σ черезM 0 .

Определение 2. Нормалью называется прямая n, проходящая через M 0 перпендикулярно α.

Из определения α и n следует, что нормальный вектор касательной плоскости α и направляющий вектор прямой n совпадают.

Если α задана функцией z = f (x; y), то уравнения α и n со-

ответственно имеют вид:
z − z0 = z′x (x0 ; y0 )(x − x0 )+ z′y (x0 ; y0 )(y − y0 ),							(10.6.1)
	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(10.6.2)
	z′x (x0 ; y0 )	=	z′y (x0 ; y0 )	=	−1	.	(10.6.2)
							355

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Если α задана уравнением: F(x; y; z)= 0, то уравнения α и

n соответственно имеют вид:
	Fx′(x0 ; y0 ; z0 )(x − x0 )+ Fy′(x0 ; y0				; z0 )(y − y0 )+
					(10.6.3)
	+ Fz′(x0 ; y0 ; z0 )(z − z0 )= 0,
	x − x0		y − y0			z − z0
		=		=			. (10.6.4)
	Fx′(x0 ; y0 ; z0 )		Fy′(x0 ; y0 ; z0 )			Fz′(x0 ; y0 ; z0 )

бДСДзаь

Составить уравнение касательной прямой и нормали к кривой y = y(x), заданной уравнением F(x; y)= 0 в точке

M 0 (x0 ; y0 ):

3498. x3 + 2xy3 − yx4 −2 = 0 , M0 (1;1). 3499. x3 y − y3 x = 6 , M0 (2;1).

3550. x2 y2 − x4 − y4 +13 = 0 , M0 (2;1).

3501. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x; y), определенной неявно уравне-

нием x2 + 3y 2 − 4z 2 =15 в точке M0 (2; −3; 2).

3502. На сфере x2 + y 2 + z 2 = 676 найти точки, где касательные плоскости параллельны плоскости 3x + 4 y +12z =15 .

3503. К поверхности x2 + 2 y 2 + 3z 2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости x + 4 y + 6z = 0 .

3504. К эллипсоиду	x2	+	y 2	+	z 2	=1 провести касатель-
	a 2		b2		c2

ные плоскости, отсекающие на координатных плоскостях равные по величине отрезки.

356

§ 10.6. д‡Т‡ЪВО¸М‡ﬂ Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ

3505. На поверхности x2 + y 2 − z 2 = 2x найти точки, в ко-

торых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.

b2 + c2

3506. Показать,

что

сфера

+ y

+ z −

(b2 + c2 ) и конус

y 2

−

z 2

= 0 касаются друг друга в

точках (0, ± b, c).

Доказать, что уравнение касательной плоскости α, проведенной к данной поверхности в данной точке M 0 (x0 ; y0 ; z0 ), имеет указанный вид:

y 2

z 2

x +

y +

z =1.

3507.

=1 , (α):

a 2

y 2

z 2

x +

y −

z =1.

3508.

−

=1 , (α):

a 2

y 2

z 2

y −

z = −1.

3509.

−

= −1 , (α):

y 2

z 2

x +

y −

z = 0.

3510.

−

= 0 , (α):

y 2

, (α): z + z0

2 y

3511.

z =

y 2

, (α): z + z0

−

2 y

3512.

z =

−

§10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

Ë‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрﬂ‰НУ‚

Пусть задана дифференцируемая функция z =f(x; y).

357

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Определение 1. Второй частной производной по х называется функция:

∂2 z		=	∂	∂z	,	(10.7.1)
∂x	2

			∂x	∂x

если существует.

Определение 2. Второй частной производной по y называется функция:

∂	2	z2 =	∂	∂z
					,	(10.7.2)
∂y
			∂y	∂y

если существует.

Определение 3. Смешанной частной производной второго порядка называется функция:

∂2 z	=	∂	∂z		∂2 z	=	∂	∂z
				,				.	(10.7.3)
∂x∂y					∂y∂x
		∂y	∂x				∂x	∂y

Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой.

Определение 4. Выражение

d 2 z = d (dz)= ∂2 z dx2 + 2 ∂2 z dxdy + ∂2 z dy2 (10.7.4)

∂x2 ∂x∂y ∂y2

называется дифференциалом второго порядка для функции z. По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, в случае не-

прерывности производных, равны между собой.

Число разных частных производных порядка n от функции двух переменных равно n +1:

∂n z

,...,

∂n z

. (10.7.5)

∂x

n−1

∂x

n−2

∂y

∂x

∂y

n−2

∂x∂y

n−1

∂y

Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:

358

§ 10.7. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В Л ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О˚ ‚˚Т¯Лı ФУрﬂ‰НУ‚

z = d(d

z) =

∂3 z

∂3 x

dy +

∂x3

∂x2∂y

(10.7.6)

∂3 z

dxdy

∂x∂y2

∂y3

Выражение для d ′′z формально можно записать в виде

′′	∂		∂	n
		dx +		dy	(z).	(10.7.7)
d z =	∂x		∂y

по аналогии с формулой бинома Ньютона.

бДСДзаь

3513. Найти все частные производные первого, второго и третьего порядка для функции z = x3 − x2 y − y3 .

3514.

Для функции z = e xy2 .

Найти:

∂4 z ,

∂4 z

∂x2∂y2

∂x4

∂x3∂y

3515.

Найти d 2 z,

если z = arctg

3516.

Найти d 2 z,

если z =

x − y

3517.

Найти d 3 z,

если z =

x + y

3518.

Найтиd 2 z,

если z = ln(x2 + y2 ).

Для данных функций найти требуемую частную производ-

ную или дифференциал:

3519. z = sin x sin y, d

z. 520. z = 4x

+3x

y +3xy

− y

∂2 z

∂x

359

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

3521. z = xy +sin (x + y), ∂∂x2 z2 .


3523. z = arctg		x + y		,	∂2 z	.
	1		− xy		∂x∂y

3522. z = ln tg (x + y), ∂∂x2∂zy . 3524. z = x2 ln (x + y), ∂∂x2∂zy .

3525. z = x sin xy + y cos xy,

∂2 z

∂x2

3526. z = sin (x +cos y),

∂3 z

. 3527. z = ln

+ y2

, d 2 z.

∂x2∂y

3528. z = cos(x + y), d 2 z.

3529. z = cos (ax +ey )

∂3 z

∂x∂y

3530. z =

x4 −8xy3

∂3 z

3531. u = x ln (xy),

∂3u

∂x2∂y

x −2 y

3532. u = x3 sin y + y3 sin x,

∂3u

∂x∂y∂z

Найти dz и d 2 z для следующих функций:

3533. z = x2 y − xy2 + 7.

3534. z = xy −

3535. z = (x2 + y 2 )3 .

3536. z = (sin x)cos y .

3537. z = x −3sin y.

3538. z = ln x2 + y.

3539. Дано (xy − a)

(xy

− b)

= R

. Найти

′

′′

для не-

y ,

явной функции y(x).

3540. Дано x + y − e

x+ y

′

′′

0. Найти y (x),

y (x).

3541. Дано 1 + xy − ln(e

+ e

−xy

′

′′

)= 0. Найти y (x),

y (x).

360

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 5036 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб157Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб147kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб7Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc