Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 8.7. àÌÚÂ„ðËðÓ‚‡ÌËÂ ð‡ÁÌ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ

2616. ∫cos2 x sin4 xdx.

2619. ∫sin4 xcos4 xdx.

2622. ∫(1+ 2cosx)2 dx.

2617. ∫sin3 xcos2 xdx.

2620. ∫cos3 x sin5 xdx.

2623. ∫cos5 xdx.

2618. ∫cos7 xdx.

2621. ∫sin4 2x dx.

2624. ∫sindx2x .

2625.

∫

2626. ∫

2627. ∫

cos

sin 9x

cos5x

2628.

∫sin x +cosx dx.

2629. ∫sin 3xcosxdx.

sin 2x

2630.

∫sin 3x sin 5xdx.

2631.

∫sin nx sin mxdx (m + n ≠ 0, m −n ≠ 0).

2632.

∫

sin 3x sin xdx.

2633.

∫

sin

5x −

cosxdx.

cos3 xdx

sin3 x

2634.

∫sin

cos

3 dx.

2635.

∫ sin2 x .

2636. ∫cos2 x dx.

∫ctg

cos3 x

sin5 x

2637.

xdx.

2638. ∫sin5 x dx.

2639. ∫cos3 x dx.

2640.

∫tg4 xdx.

2641. ∫

2642. ∫

sin4 x

1+3cos2 x

2643.

∫

. 2644. ∫

2645. ∫

+3cosx

3sin x + 4cosx

3 +cosx

2646.

∫tg

xdx.

2647. ∫

2648. ∫

1+cosx

dx.

2sin x +sin 2x

sin4 x

271

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2649.

∫

2650. ∫

sin x −cosx

sin x +cosx

2651.

∫

. 2652. ∫

3sin2 x +5cos2 x

sin2 x +3sin xcosx −cos2 x

2653.

∫

2654. ∫

sin2 x −5sin x cosx

8 −4sin x +7cosx

2655.

∫

2656.

∫

sin xdx

(b ≠ 0).

(sin x +cosx)2

b2 +cos2 x

cos5 x

sin 2x

2659. ∫

e2 x −2ex

2657.

∫sin3 x dx.

2658. ∫ cos4 x dx.

e2 x +1 dx.

e3xdx

e4 xdx

e3xdx

ex +1

2660. ∫

2661. ∫ex −1.

2662. ∫

. 2663. ∫ex −1 dx.

ex + 2

e2 x −1

e3x + 2ex

3e2 x −4ex

e5xdx

2664.

∫

dx.

2665. ∫

e2 x + 4

dx.

2666. ∫ex +1.

e2 x +ex +1

∫

cos2xdx

2668. ∫

2669. ∫

2667.

cos4 x .

cos4 x

cosx + 2sin x +3

2670.

∫

1+tgx

dx.

2671. ∫ctg5 xdx.

2672. ∫

sin 2x

1+3sin

2 x

2673.

∫(3x −1)

−x

−8xdx.

2674. ∫

3x3 + x2

dx.

x2 +6x +10

2675.

∫

5e2 x −3ex

dx.

2676. ∫(5x +3)

+3x +5dx.

ex + 4 −e2 x

2677.

∫

axdx

> 0, a ≠1).

2678. ∫(1−2x)

+8xdx.

a2 x +1

2679.

∫

6x −10

dx.

2680. ∫

2x2 + 4x +1dx.

+5x +

272

§ 8.7. àÌÚÂ„ðËðÓ‚‡ÌËÂ ð‡ÁÌ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ

arc sin

3x +1

2681.

∫

dx. 2682. ∫

dx.

2 − x

x2 +10x +1

2683. ∫

xarc sin xdx

. 2684.

∫sin(ln x)dx. 2685. ∫

3 + 2x − x

dx.

1− x

2686.

∫tg3 xdx.

2687. ∫x2arctg(2x +1)dx.

2688.

∫cosmx cosnxdx (m + n ≠ 0, m −n ≠ 0).

2689.

∫

ln(cosx)dx

2690.

∫

ln(x +

x2 −9)

dx.

sin

x −3

2691.

∫

2692. ∫

. 2693. ∫

sin

2 3x

3 +sin 5x

cos3x + 2sin 3x

2694.

∫

2695. ∫

cos2x −sin 2x + 2

2+3cos

2696.

∫

2sin2 3x −3cos2 3x +1

273

É Î ‡ ‚ ‡ I X

йикЦСЦгЦззхв азнЦЙкДг

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

Определение 1. Пусть на отрезке [a,b] определена функция y = f (x). Отрезок [a,b] разобьем на n частей точками

a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b.	В каждом из элементарных от-
резков длины ∆x = xi − xi−1	(i=1,…,n) произвольным образом

выберем точку zi и составим сумму ∑ f (zi )∆xi , которая на-

i=1

зывается интегральной суммой функции y = f (x) в промежутке [a,b]. Обозначим λ длину наибольшего из элементарных отрезков, то есть λ = max ∆xi .

Определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a,b] называется предел ее интегральной суммы, когда

число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:

	b	n
	∫ f (x)dx =limλ→0 ∑ f (zi )∆xi .		(9.1.1)
	a	i=1
Если функция		y = f (x) непрерывна, то предел существует
и конечен.
Свойства определенного интеграла:
1. ∫b	f (x)dx =∫b	f (t)dt, то есть величина определенного ин-
a	a

теграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.

274

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

2.	∫a	f (x)dx = 0 .
	a
3.	∫b	f (x)dx =− ∫a		f (x)dx .
	a		b
4.	∫b	f (x)dx =∫c	f (x)dx + ∫b			f (x)dx, a < c < b .
	a	a			c
5.	∫b ( f1 (x) ± f2 (x))dx =∫b					f1 (x)dx ± ∫b	f2 (x)dx .
	a				a	a
6.	∫b ñ f (x)dx = ñ∫b				f (x)dx .

7.Если f (x) ≤ g(x) на отрезке [a,b], то

∫b	f (x)dx ≤ b∫ g(x) dx.
a	a
a

8. Если М — наибольшее, а m — наименьшее значение f(x)

на [a, b], то m(b −a) ≤ ∫b							f (x)dx ≤ M (b −a).
						a
9. ∫b		f (x)dx = f (c)(b −a), c [a,b] — теорема о среднем.
a
10.		∫b	f (x)dx	≤ ∫b		f (x)		dx .



		a			a
	x			'	= f (x) .
11. ∫ f (t)dt					= f (x) .
	a
							275

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

	b		b
12.	∫	f (x)dx = F(x)	b	= F(b) − F(a),	где	′	—
12.	∫	f (x)dx = F(x)	a	= F(b) − F(a),	где	F (x) = f (x),	—
	a		a
	a
формула Ньютона — Лейбница.
	∫b	β
13.	∫b	f (x)dx = ∫ f [ϕ(t)]ϕ' (t)dt, где			x =ϕ(t), a =ϕ(α),
	a	α

b=ϕ(β) .

14.∫b u(x)dv(x) = u(x) v(x) ba − ∫b v(x)du(x) — интегриро-

вание по частям в определенном интеграле.

бДСДзаь

Вычислить определенные интегралы, составив интеграль-

n−1	− xk = b −a
ную сумму ∑ f (ck )(xk +1 − xk ), где xk +1	− xk = b −a	, ck = xk ,
k =0	n
k =0, 1, 2…, n–1, и найдя ее предел:

2697. ∫b cxdx.

2698. ∫b cx2dx.

2699. ∫b ex dx.

2700. ∫b cxdx.

Вычислить интегралы:
2701.	∫3	(3x2 + x)dx.	2702.	∫0			(a + x)2	dx.
2701.	∫3	(3x2 + x)dx.	2702.	∫0				dx.
	2			−a			a
2703.	∫1	(ex − x)dx.	2704.	+∫1		(2ex −3x2 )dx.
	0			−1
2705.	∫2	(2x + 2x +1)dx.	2706.	∫1	(2−x +ex −3)dx.
	1			0
276

			§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡
Число	1	∫b	f (x)dx называется средним значением

	b −a a

функции f(x) на отрезке [a;b].

Найти средние значения функций на указанных отрезках: 2707. f(x) = 3x на отрезке [−2; 2].

2708.		f (x) = x2		на отрезке [0;1].
2709.		f (x) = 3x2 + 2x −1 на отрезке [1; 5].
2710.		f (x) = 3x		−2x +3 на отрезке [0; 2].
2711.		Не вычисляя интегралов, установить, какой из инте-
гралов больше:
а) ∫1	xdx или ∫1		x2dx;		б) ∫2	xdx или ∫2	x2dx;
0		0			1	1

ππ

в) ∫2	xdx или ∫2 sin xdx;	г) ∫1 exdx или ∫1 ex3 dx;
0	0	0	0

ππ

2	n	2	n+1	−2	1 x	−2	x	dx.
д) ∫sin		xdx или ∫sin		xdx; е) ∫	3	dx или ∫3		dx.
0		0		−1	3	−1

2712. Пусть f(x) — непрерывно монотонная функция на

отрезке [a;b]. Доказать, что ∫b	f (x)dx лежит между (b – a) f(a)
a
и (b – a) f(b).
2713. Доказать, чтоинтеграл ∫2		dx	больше	1	именьше	1 .
2713. Доказать, чтоинтеграл ∫2		10 + x	больше		именьше	1 .
	0	10 + x		6		5
						277

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

Доказать неравенства:

2714. 1 < ∫1 ex2 dx < e. 2715.

< ∫2

xdx

1 .

2716. 9 <

18∫

x +1

dx < 9,5.

x + 2

2717. 2

−q

∫0

<1,

( p > 0, q > 0).

(x p +1)q

x ≥ sin x

≥

≤ x

≤

2718. Доказать неравенства

с помощью их показать, что 1 < ∫2 sin xdx <

π .

2719. Непосредственным возведением в квадрат доказать

неравенства 1+

−

1+ x <1+

при

0 < x < 8

и с по-

мощью их дать оценку сверху и снизу интеграла ∫4

1+ xdx.

Вычислить интегралы:

2720. ∫2

3x2dx.

2721. ∫2 cosxdx.

2722. ∫1

2723.

27∫

3 2

0 1+ x

−1 dx

2 x

2724. ∫

. 2725. ∫

. 2726. ∫ sin

dx. 2727. ∫

dx.

−5

−1 4x

−9

−π

3x4 +3x2 +1

dx.

3 2x4

−5x2 +3

dx.

2728. ∫

2729. ∫

−1

−

278

§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡

2730. ∫2	x ln xdx.	2731.	π∫ x sin xdx.	2732. ∫4		dx	.
					1+	2x +1
1			−π	0

2733. ∫2 sin x cos2 xdx.		2734. ∫4		dx			.

0		0	1+			x
a		2737. ∫1
2736. ∫2	a + x dx.			xdx					.
				2
0	a − x	0		1− x
π
2739. ∫2 cosx sin2 xdx.		2740. ∫1				dx				.
				e	x	+e		−x
0			0

2742.	π∫sin		4	x	dx.

	0		2
2745. ∫1		4 − x2 dx.
	0

2743. ∫2	dx	.

0	3 + 2cosx
2746. ∫a	a2 − x2 dx.
0

2735. ∫1	x	dx.

0	x +1

−π2

2738. ∫ sin x cos2 xdx.

2741. ln∫2		ex −1dx.
0
2744. ∫4	x	x2 +9dx.
0
2747. ∫4	x3	x2 +9dx.
0

Доказать следующие равенства:

2748.	∫b	f (x)dx = ∫b	f (a +b − x)dx.
	a	a
2749.	∫b	f (x)dx = ∫b	f (−x)dx.
	−b	−b
	π		π
2750.	∫2	f (sin x)dx =∫2		f (cosx)dx. Использовать это равен-
	0		0
				π	π
ство для вычисления интегралов ∫2 sin2 xdx и ∫2 cos2 xdx.
				0	0
					279

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2751. ∫1

xm (1− x)n dx = ∫1

xn (1− x)m dx.

2752. Доказать, что для четной функции f(x) справедливы

равенства:

∫0

f (x)dx = ∫a

f (x)dx =

∫a

f (x)dx.

−a

2753. Доказать, что для нечетной функции f(x) справедли-

вы равенства: ∫0

f (x)dx = −∫a

f (x)dx, ∫a

f (x)dx = 0. Пока-

−a

= 0, ∫2

зать, что ∫2

sin2 x ln 1+ x dx

x3cosk xdx = 0, k > 0.

−1

1− x

−2

2754. Доказать равенства:

а) ∫a

cosx f (x2 )dx = 2∫a cosx f (x2 )dx;

−a

б) ∫a

sin x f (cosx)dx = 0;

−a

в) π∫x f (sin x)dx = π π∫ f (sin x)dx;

2 0

г) ∫a

f (x)dx = ∫a [ f (x) + f (−x)]dx,

где f(x) — непрерыв-

−a

ная функция.

a+∫ω f (x)dx =

2755. Доказать

справедливость

равенства

= ω∫ f (x)dx, где f(x) — непрерывная периодическая с перио-

дом ω функция.

280

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб157Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб147kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб7Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc